Вариант 2 1 . На рисунке 68 точка O — центр окружности, ∠BOC = 40°. Найдите угол OBD. 2. К окружности с центром O проведена касательная FK (K — точка касания). Найдите отрезок FK, если радиус окружности равен 14 см и ∠FOK = 45°. 3. В окружности с центром O проведены диаметр KB и хорды BC и BD так, что ∠BOC = ∠BOD (рис. 69). Докажите, что BC = BD. 4. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и высоте, проведённой к ней. 5. Даны угол и две точки. Найдите точку, принадлежащую углу,

Давайте по порядку разберём каждый из заданных вопросов. Учитывая, что цель — понять, я подробно объясню решение каждого пункта. --- ### Вариант 2 **1. На рисунке 68 точка O — центр окружности, ∠BOC = 40°. Найдите угол OBD.** **Что нужно понять:** - O — центр окружности. - B и C — точки на окружности. - ∠BOC = 40° — угол, образованный радиусами B-O и C-O. - Нужно найти угол OBD. **Шаги решения:** - Угол ∠BOC — центральный, он при center O. - Угол, который нужен, — ∠OBD, предположительно, это угол, образованный касательной или хордами (разберём подробно). **Допущения/догадки:** - Обычно в подобных задачах точка D — точка на окружности или внутри. Если D — на окружности, то, скорее всего, наш угол связан с дугой BC. **Рассуждение:** - Радиусы O-B и O-C — стороны треугольника O-B-C. - Центра окружности и радиусы, значит, ∠BOC — это центральный угол, соответствующий дуге BC, которая измеряется 40°. **Направление:** - Угол между касательной и хордой равен половине дуги (иногда), но конкретно тут нужно понять, чему равен угол OBD. **Если D — точка на окружности, и, там, где указаны, связана с дугой, то:** - Угол ∠OBD — это или вписанный угол, или соединён с центральным. **Общая формула:** - Вписанный угол, опирающийся на дугу, равен половине этого дуги. - Вписанный угол, опирающийся на дугу BC, равен половине дуги BC. **Значит:** - ∠OBD — вписанный угол, опирающийся на дугу BC, и равен половине дуги BC. - А дуга BC — это та, которая равна 40°. Тогда ∠OBD = 20°. **Ответ:** **∠OBD = 20°** --- **2. К окружности с центром O проведена касательная FK (K — точка касания). Найдите отрезок FK, если радиус окружности равен 14 см и ∠FOK = 45°.** **Что нужно понять:** - радиус R = 14 см. - ∠FOK = 45°, где F — точка на касательной, K — точка касания, O — центр. - Требуется найти длину касательной FK. **Разбор:** - Точка K — точка касания окружности. - FK — касательная, проведённая из точки F к окружности. - Поскольку O — центр, FK — касательная к окружности в точке K. - Внутри треугольника OFK: - OК — радиус, длина = 14 см. - ∠FOK = 45°. - Свойство касательной: - касательная в точке K перпендикулярна радиусу: \(\angle OKF = 90^\circ\). - В треугольнике OFK: - \(\angle OFK = 90^\circ\), - \(\angle FOK = 45^\circ\), - Найдём FK. **Используем тригонометрию:** - В треугольнике OFK — прямом, с катетами OF и OK, гипотенуза — FK. - По условиям: \(\angle FOK = 45^\circ\) — это угол между радиусом и касательной. - Тогда, в треугольнике OFK: - гипотенуза FK связана с катетами OF и OK: \[ FK = \sqrt{OF^2 + OK^2}. \] - Так как OF — это расстояние от центра до точки F, а F — точка, из которой проводим касательную; треугольник OFK — прямой, и |OF| можно считать левой стороной. **Допустим:** - Угол между радиусом и касательной — 90°, но это уже известно. - Однако, можно применить тригонометрию: \[ FK = 2 \times OK \times \sin \frac{\angle FOK}{2} \] или через прямую: \[ FK = 2 \times R \times \sin \frac{\angle FOK}{2} \] где\( R = 14 \text{ см}\), и \(\angle FOK = 45^\circ\). Подставим: \[ FK = 2 \times 14 \times \sin 22.5^\circ. \] Значение \(\sin 22.5^\circ\): \[ \sin 22.5^\circ = \sqrt{\frac{1 - \cos 45^\circ}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}. \] Вычислим: \[ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.7071, \] тогда: \[ \sin 22.5^\circ = \sqrt{\frac{1 - 0.7071}{2}} = \sqrt{\frac{0.2929}{2}} = \sqrt{0.14645} \approx 0.3827. \] Тогда длина касательной: \[ FK = 2 \times 14 \times 0.3827 \approx 28 \times 0.3827 \approx 10.7136\, \text{см}. \] **Ответ ≈ 10.7 см.** --- **3. В окружности с центром O проведены диаметр KB и хорды BC и BD так, что ∠BOC = ∠BOD. Докажите, что BC = BD.** **Что нужно понять:** - O — центр, KB — диаметр, значит, \(K\) — точка напротив другой стороны окружности. - Даны дуги и углы, - ∠BOC и ∠BOD равны. **Доказательство:** - В центре окружности: ∠BOC — центральный угол, опирающийся на дугу BC. ∠BOD — центральный угол, опирающийся на дугу BD. - Условие: \(\angle BOC = \angle BOD\). - Так как центральные углы равны, дуги, на которые они опираются, тоже равны: \[ \textrm{дуга } BC = \textrm{дуга } BD. \] - Хорды BC и BD, опирающиеся на равные дуги, равны по длине: \[ BC = BD. \] **Значит, доказано, что:** \[ \boxed{BC = BD.} \] --- **4. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и высоте, проведённой к ней.** **Объяснение:** - Пусть есть сторона \(AB\). - Построим равнобедренный треугольник с основанием, например, \(AB\), и проведём высоту из вершины \(A\) к основанию \(BC\). - В результате: - Высота делит основание пополам. - В треугольнике \(ABC\), если \(A\) — вершина, то \(AB = AC\). - Высота из \(A\) в точке D (на \(BC\)) — перпендикуляр к основанию, делящий его пополам. **Пример:** Построим треугольник \(ABC\), где \(AB = AC\). Проведём из \(A\) высоту \(AD\), перпендикуляр к \(BC\). **Это классическая конструкция равнобедренного треугольника.** --- **5. Даны угол и две точки. Найдите точку, принадлежащую углу.** **Подробный ответ:** - Не слишком ясно, что это за условие. - Может, речь о построении точки внутри угла, или о прямой, проходящей через его вершину и точки. **Общий подход:** - Если есть угол с вершиной \(V\), и точки \(A\), \(B\). - Требуется найти точку внутри или на границе, которая принадлежит углу. **Пример:** - Построить точку внутри угла, используя точки \(A, B\): - Можно, например, взять середину отрезка между точками внутри угла. - Или, если нужно, построить точку, равную расстоянию от вершины и лежащую внутри. --- ## Итоговые ответы: 1. \(\boxed{\text{∠OBD = 20°}}\) 2. \(\boxed{\approx 10.7\, \text{см}}\) 3. \(\boxed{BC = BD}\) 4. Построение равнобедренного треугольника с высотой из вершины — классическая конструкция. 5. Точка внутри угла, например, точка пересечения медиан или биссектрис, в зависимости от дополнительных условий. Если нужны дополнительные пояснения или есть рисунки — присылайте!