1. (Н...) обладая особой силой он (н...) когда (н...) выказывал слабости или (н...) уверенности. 2. Самому себе он (н...)мог (н...) признаться в (н...)лепости и (н...)ло-гичности…

Вот правильное заполнение пропусков с использованием "не" или "ни" в соответствии с правилами русской орфографии и смыслом предложений:

1. Н е обладая особой силой он н е когда н е выказывал слабости или н е уверенности.
   (Правильно: "Не обладая", "не когда", "не выказывал", "не уверенности".)

2. Самому себе он н е мог н е признаться в н е лепости и н е логичности этого выбора.
   ("Не мог", "не признаться", "не лепости", "не логичности".)

3. Он продолжал убеждать себя в н е лепости и н е сообразности происходящего.
   ("не лепости" — правильное употребление, так как это отрицание близкое к устойчивому выражению "не лепость", и "не сообразности".)

4. Это н е могло н е случиться.
   ("не могло" и "не случиться".)

5. Чего бы эта игра н е стоила и чем бы она н е кончилась он будет вести её в открытую.
   ("не стоила", "не кончилась".)

6. Он н е мог н е заметить внезапной холодности её тона.
   ("не мог", "не заметить".)

7. Конфликт между ними был н е избежен.
   ("не избежен".)

8. Мне н е разу н е удалось даже взглянуть на эту рукопись.
   ("не разу", "не удалось".)

9. Что я только н е делал чтобы отыскать его!
   ("не делал".)

10. Я понял что это н е что иное как мистификация.
    ("не что иное".)

Если нужно более подробно объяснить, почему выбираем "не" или "ни" в каждом случае, я готов помочь!