Вот подробные решения по каждому заданию из билетов:
Билет № 1
1. Числовые и алгебраические выражения. Действия с десятичными и обыкновенными дробями.
Подумайте: например, сложение дробей 2/3 и 3/4.
Общий знаменатель — 12:
[
\frac{2}{3} = \frac{8}{12}, \quad \frac{3}{4} = \frac{9}{12} \Rightarrow \frac{8}{12} + \frac{9}{12} = \frac{17}{12}
]
Десятичные: 0,75 + 0,25 = 1,0.
2. Признаки равенства треугольников.
Треугольники равны, если:
- соответствующие стороны равны (SSS),
- две стороны и угол между ними равны (SAS),
- две стороны и соответствующий им угол (UAS, по англ. SAS).
3. Величины смежных углов, если один в 5 раз больше другого.
Пусть меньший угол — x, тогда больший — 5x.
Сумма смежных углов — 180°, потому что это соседние по стороне углы:
[
x + 5x = 180° \Rightarrow 6x = 180° \Rightarrow x = 30°
]
Следовательно, второй — 5 * 30° = 150°.
4. Разложите на множители: 10kx + 15k - 8x - 12.
Группируем:
[
(10kx - 8x) + (15k - 12) = 2x(5k - 4) + 3(5k - 4) = (2x + 3)(5k - 4)
]
Билет № 2
1. Линейное уравнение с одной переменной, способ решения, количество корней.
Пример: (2x + 4 = 0).
Решение: (x = -2). Кол-во решений — одно, если уравнение не противоречиво.
2. Виды треугольников. Сумма углов = 180°.
- Острый: все углы < 90°.
- Тупой: один угол > 90°.
- Прямой: есть угол 90°.
Соотношения сторон: прямоугольный (по теореме Пифагора), равнобедренный, равносторонний.
3. Отрезки (АC) и (ВМ) пересекаются в точке (О) и точки делятся пополам.
По условию, (АC) и (ВМ) — середины отрезков.
Если (АО = OC) и (ВО = OM), и точки пересекаются в (О), то по признакам подобия и равенства треугольников:
(\triangle LOV \sim \triangle COM), а по условию — они равны.
4. Представьте в виде многочлена: ((-3x^2 + 6x)(5x - 3) - 3(5x - 4)).
Раскроем скобки:
[
(-3x^2)(5x) + (-3x^2)(-3) + 6x(5x) - 6x(3) - 3(5x) + 3(4)
]
[
-15x^3 + 9x^2 + 30x^2 - 18x - 15x + 12
]
Объединяем подобные:
[
-15x^3 + (9x^2 + 30x^2) + (-18x - 15x) + 12 = -15x^3 + 39x^2 - 33x + 12
]
Билет № 3
1. Степень с натуральным показателем. Свойства степени.
Степень — показатель степени, например, (x^n). Свойства:
- (x^a \cdot x^b = x^{a+b}).
- (\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}).
- ((x^a)^b = x^{ab}).
2. Линии в треугольнике:
- Медиана — делит сторону пополам.
- Биссектриса — делит угол пополам.
- Высота — делит сторону и образует прямой угол.
3. Дано: (t \parallel p), (13^\circ = 35^\circ) (скорее всего, указана какая-то величина — уточнение отсутствует).
Допустим, искать углы, используя свойства параллельных линий и соответственные или накрест лежащие углы.
4. Докажите тождество: (x^2 + 12x + 45 = (x - 15)(x + 3)).
Раскроем RHS:
[ (x - 15)(x + 3) = x^2 + 3x - 15x - 45 = x^2 - 12x - 45 ]
Это не равна начальному выражению. Проверьте, может, опечатка или другое уравнение.
Билет № 4
1. Линейное уравнение с двумя переменными.
Общий вид: (ax + by + c = 0). Решение — это график прямой.
Построение: найти два или более точек, подставляя значения (x) или (y).
2. Признаки параллельности прямых:
Две прямые параллельны, если их коэффициенты при (x) и (y) пропорциональны, например:
[
a_1x + b_1y + c_1 = 0, \quad a_2x + b_2y + c_2 = 0
]
Тогда: (\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \text{например, } \frac{c_1}{c_2}).
3. В равнобедренном треугольнике (ABC) с основанием (AC), внешний угол при вершине (B) равен 112°.
Внутренний — равен половине сумме двух соседних внутренних углов. Углы при основании равны.
Обозначим: (\angle ABC = x). Тогда внешний угол при (B) — это сумма двух внутренних, смежных с ним.
Внутренний угол (\angle ABC = x), внешний — 112°.
По свойствам: внутренний + внешний = 180°.
Следовательно, (x + 112° = 180° \Rightarrow x = 68°).
4. Вычислить: 323.82 + 165 = **488.82.
Если потребуется что-то более подробно или по конкретным задачам — скажите!
