Рассмотрим задачу пошагово.
Дано:
- Угол сектора ( \theta = 45^\circ )
- Площадь сектора ( S_{\text{сектора}} = \frac{8}{3} \pi )
- Нужно найти радиус окружности ( R ) и длину дуги ( L ).
Шаг 1. Запишем формулы
Площадь сектора:
[
S_{\text{сектора}} = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi R^2
]
Длина дуги:
[
L = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2 \pi R
]
Шаг 2. Подставим известные значения в формулу площади сектора
[
\frac{8}{3} \pi = \frac{45^\circ}{360^\circ} \times \pi R^2
]
Упростим дробь:
[
\frac{45}{360} = \frac{1}{8}
]
Получаем:
[
\frac{8}{3} \pi = \frac{1}{8} \pi R^2
]
Шаг 3. Решим уравнение относительно ( R^2 )
Прежде всего, сократим обе части уравнения на ( \pi ):
[
\frac{8}{3} = \frac{1}{8} R^2
]
Перенесём 8 в левую часть уравнения:
[
8 \times \frac{8}{3} = R^2
]
Вычислим:
[
\frac{8 \times 8}{3} = R^2
]
[
\frac{64}{3} = R^2
]
Найдем ( R ):
[
R = \sqrt{\frac{64}{3}} = \frac{\sqrt{64}}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}}
]
Для удобства можно рационализировать знаменатель:
[
R = \frac{8}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{8 \sqrt{3}}{3}
]
Шаг 4. Найдём длину дуги ( L )
Рассчитаем по формуле:
[
L = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2 \pi R
]
Подставим:
[
L = \frac{45}{360} \times 2 \pi R = \frac{1}{8} \times 2 \pi R = \frac{2 \pi R}{8} = \frac{\pi R}{4}
]
Подставим найденное значение ( R = \frac{8 \sqrt{3}}{3} ):
[
L = \frac{\pi}{4} \times \frac{8 \sqrt{3}}{3} = \frac{\pi \times 8 \sqrt{3}}{4 \times 3} = \frac{8 \pi \sqrt{3}}{12} = \frac{2 \pi \sqrt{3}}{3}
]
Ответ:
Если нужны дополнительные объяснения или проверка, скажите!
