найдите радиус окружности если площадь сектора стягивающего дугу 45°, равна 8/3п вычислите длину соответствующей окружности
Рассмотрим задачу пошагово.
Дано:
- Угол сектора \( \theta = 45^\circ \)
- Площадь сектора \( S_{\text{сектора}} = \frac{8}{3} \pi \)
- Нужно найти радиус окружности \( R \) и длину дуги \( L \).
Шаг 1. Запишем формулы
Площадь сектора: \[ S_{\text{сектора}} = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi R^2 \]
Длина дуги: \[ L = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2 \pi R \]
Шаг 2. Подставим известные значения в формулу площади сектора
\[ \frac{8}{3} \pi = \frac{45^\circ}{360^\circ} \times \pi R^2 \]
Упростим дробь: \[ \frac{45}{360} = \frac{1}{8} \]
Получаем: \[ \frac{8}{3} \pi = \frac{1}{8} \pi R^2 \]
Шаг 3. Решим уравнение относительно \( R^2 \)
Прежде всего, сократим обе части уравнения на \( \pi \): \[ \frac{8}{3} = \frac{1}{8} R^2 \]
Перенесём 8 в левую часть уравнения: \[ 8 \times \frac{8}{3} = R^2 \]
Вычислим: \[ \frac{8 \times 8}{3} = R^2 \] \[ \frac{64}{3} = R^2 \]
Найдем \( R \): \[ R = \sqrt{\frac{64}{3}} = \frac{\sqrt{64}}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} \]
Для удобства можно рационализировать знаменатель: \[ R = \frac{8}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{8 \sqrt{3}}{3} \]
Шаг 4. Найдём длину дуги \( L \)
Рассчитаем по формуле: \[ L = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2 \pi R \]
Подставим: \[ L = \frac{45}{360} \times 2 \pi R = \frac{1}{8} \times 2 \pi R = \frac{2 \pi R}{8} = \frac{\pi R}{4} \]
Подставим найденное значение \( R = \frac{8 \sqrt{3}}{3} \):
\[ L = \frac{\pi}{4} \times \frac{8 \sqrt{3}}{3} = \frac{\pi \times 8 \sqrt{3}}{4 \times 3} = \frac{8 \pi \sqrt{3}}{12} = \frac{2 \pi \sqrt{3}}{3} \]
Ответ:
Радиус окружности: \[ R = \frac{8 \sqrt{3}}{3} \]
Длина дуги: \[ L = \frac{2 \pi \sqrt{3}}{3} \]
Если нужны дополнительные объяснения или проверка, скажите!
