logа'x= ln'x= sin' x= cos' x= tg' x= ctg'x= arcsin' x= arccos' x= arctg' x= arcctg' z=

Конечно! Вот подробные решения и объяснения для каждого из приведённых выражений — производных функций:

1. logₐ x = — логарифм по основанию а от x.
   Производная:
   \[ \frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a} \] где \(\ln a\) — натуральный логарифм основания а.

2. ln x = — натуральный логарифм.
   Производная:
   \[ \frac{d}{dx} (\ln x) = \frac{1}{x} \]

3. sin x = — синус х.
   Производная:
   \[ \frac{d}{dx} (\sin x) = \cos x \]

4. cos x = — косинус х.
   Производная:
   \[ \frac{d}{dx} (\cos x) = -\sin x \]

5. tg x = — тангенс х (tan x).
   Производная:
   \[ \frac{d}{dx} (\tan x) = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x \]

6. ctg x = — котангенс х (cot x).
   Производная:
   \[ \frac{d}{dx} (\cot x) = -\frac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x \]

7. arcsin x = — арксинус х.
   Производная:
   \[ \frac{d}{dx} (\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \]

8. arccos x = — арккосинус х.
   Производная:
   \[ \frac{d}{dx} (\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \]

9. arctg x = — арктангенс х.
   Производная:
   \[ \frac{d}{dx} (\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2} \]

10. arcctg z = — арккотангенс z.
    Производная:
    \[ \frac{d}{dz} (\operatorname{arcctg} z) = -\frac{1}{1 + z^2} \]

Если нужно, я могу подробнее объяснить, как выводятся эти формулы, или помочь с конкретной задачей.