Давайте решим задачу шаг за шагом.
Дано:
- Два участка одинаковой площади: 252 м² каждый.
- Первый каменщик укладывает на 3 м² больше плитки в день, чем второй.
- Первый каменщик завершает работу на 2 дня раньше, чем второй.
- Нужно найти, сколько м² плитки укладывает в день первый каменщик.
Обозначения:
Пусть:
- ( x ) — площадь плитки, которую укладывает в день первый каменщик (м²).
- Тогда второй каменщик укладывает ( x - 3 ) м² в день.
Модели работы:
Обозначим:
- ( t_1 ) — время работы первого каменщика (дней).
- ( t_2 ) — время работы второго каменщика (дней).
Так как оба работают на одинаковой площади — 252 м² —:
[
x \times t_1 = 252
]
[
(x - 3) \times t_2 = 252
]
Также известно, что первый каменщик работает на 2 дня меньше:
[
t_1 = t_2 - 2
]
Подстановка:
Подставим ( t_1 = t_2 - 2 ) в первое уравнение:
[
x (t_2 - 2) = 252
]
Второе уравнение:
[
(x - 3) t_2 = 252
]
Решение системы:
Выразим ( t_2 ) из второго уравнения:
[
t_2 = \frac{252}{x - 3}
]
Теперь подставим в первое уравнение:
[
x \left( \frac{252}{x - 3} - 2 \right) = 252
]
Раскроем скобки:
[
x \left( \frac{252 - 2(x - 3)}{x - 3} \right) = 252
]
Раскроем скобки в числителе:
[
252 - 2x + 6 = 258 - 2x
]
Значит:
[
x \times \frac{258 - 2x}{x - 3} = 252
]
Упростим:
[
\frac{x (258 - 2x)}{x - 3} = 252
]
Перемножим обе части уравнения на ( x - 3 ):
[
x (258 - 2x) = 252 (x - 3)
]
Раскроем скобки слева и справа:
Левое:
[
258 x - 2x^2
]
Правое:
[
252 x - 756
]
Получаем уравнение:
[
258 x - 2x^2 = 252 x - 756
]
Переносим все в левую сторону:
[
258 x - 2x^2 - 252 x + 756 = 0
]
Объединим подобные:
[
(258 x - 252 x) - 2x^2 + 756 = 0
]
[
6 x - 2x^2 + 756 = 0
]
Разделим всё на 2 для удобства:
[
3 x - x^2 + 378 = 0
]
или
[
-x^2 + 3 x + 378 = 0
]
Перевернем знак уравнения:
[
x^2 - 3 x - 378 = 0
]
Решение квадратного уравнения:
[
x^2 - 3 x - 378 = 0
]
Дискриминант:
[
D = (-3)^2 - 4 \times 1 \times (-378) = 9 + 1512 = 1521
]
Рассмотрим корни:
[
x = \frac{3 \pm \sqrt{1521}}{2}
]
(\sqrt{1521} = 39), так как:
[
39 \times 39 = 1521
]
Тогда:
[
x = \frac{3 \pm 39}{2}
]
Два варианта:
- ( x = \frac{3 + 39}{2} = \frac{42}{2} = 21 )
- ( x = \frac{3 - 39}{2} = \frac{-36}{2} = -18 )
Площадь не может быть отрицательной, значит:
[
x = 21 \text{ м²}
]
Итог:
Первый каменщик укладывает 21 м² плитки в день.
Если нужно более подробно объяснить любой из шагов — скажите!
