Может ли существовать граф у которого сумма степеней всех вершин равна 13456

Рассмотрим задачу: может ли существовать граф, у которого сумма степеней всех вершин равна 13456. Общее свойство графов: сумма степеней всех вершин равна удвоенной сумме рёбер, то есть: \[ \text{Сумма степеней} = 2 \times \text{число рёбер} \] Пусть у графа есть \(n\) вершин, и сумма степеней этих вершин равна \(S\). Тогда: \[ S = 2 \times E, \] где \(E\) — число рёбер графа. В нашем случае: \[ S = 13456, \] следовательно: \[ E = \frac{S}{2} = \frac{13456}{2} = 6728. \] Чтобы граф с такой суммой степеней существовал, необходимо, чтобы сумма степеней \(S\) имела вид, совместимый с реальным графом. Ключевое условие — максимальная возможная сумма степеней для графа с \(n\) вершинами — это сумма степеней полного графа \(K_n\), у которого каждая вершина связана со всеми остальными, т.е. степень каждой вершины равна \(n-1\), а сумма степеней равна: \[ \text{Сумма степеней } = n \times (n - 1). \] Эта сумма должна быть не меньше, чем искомая \(S = 13456\): \[ n(n - 1) \geq 13456. \] Решим неравенство: \[ n^2 - n \geq 13456, \] или \[ n^2 - n - 13456 \geq 0. \] Рассчитаем корни этого квадратичного уравнения: \[ n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4 \times 13456}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 53824}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{53825}}{2}. \] Найдем \(\sqrt{53825}\): \[ \sqrt{53825} \approx 232. \] Тогда приблизительно: \[ n \approx \frac{1 + 232}{2} = \frac{233}{2} = 116.5. \] Поскольку \(n\) — число вершин, оно должно быть целым числом, поэтому: \[ n \geq 117. \] Это означает, что чтобы сумма степеней могла достигать 13456, должно существовать: \[ n \geq 117. \] Теперь проверим обратное: - Максимальная сумма степеней у полного графа \(K_{117}\): \[ 117 \times 116 = 13{,}572. \] Это больше, чем 13456. Следовательно, сумма степеней доходит до 13 572 при полном графе с 117 вершинами. А так как сумма степеней за 13 456 меньше, чем у полного графа, это вполне возможно, при условии, что степень каждой вершины немного ниже 116. Далее, важно убедиться, что \(S = 13456\) — чётное число, что соответствует условию существования графа, так как сумма степеней должна быть чётной — это выполняется, поскольку 13456 — чётное. **Итог:** Поскольку существуют графы с числами вершин не менее 117, у которых сумма степеней равна любому чётному числу, не превышающему максимум для полного графа, и поскольку 13456 — чётное число, то **да, граф с суммой степеней 13456 может существовать**. **Ответ:** Да, такой граф может существовать.