Может ли существовать граф у которого сумма степеней всех вершин равна 13456

Рассмотрим задачу: может ли существовать граф, у которого сумма степеней всех вершин равна 13456.

Общее свойство графов: сумма степеней всех вершин равна удвоенной сумме рёбер, то есть:

\[ \text{Сумма степеней} = 2 \times \text{число рёбер} \]

Пусть у графа есть \(n\) вершин, и сумма степеней этих вершин равна \(S\). Тогда:

\[ S = 2 \times E, \]

где \(E\) — число рёбер графа.

В нашем случае:

\[ S = 13456, \]

следовательно:

\[ E = \frac{S}{2} = \frac{13456}{2} = 6728. \]

Чтобы граф с такой суммой степеней существовал, необходимо, чтобы сумма степеней \(S\) имела вид, совместимый с реальным графом.

Ключевое условие — максимальная возможная сумма степеней для графа с \(n\) вершинами — это сумма степеней полного графа \(K_n\), у которого каждая вершина связана со всеми остальными, т.е. степень каждой вершины равна \(n-1\), а сумма степеней равна:

\[ \text{Сумма степеней } = n \times (n - 1). \]

Эта сумма должна быть не меньше, чем искомая \(S = 13456\):

\[ n(n - 1) \geq 13456. \]

Решим неравенство:

\[ n^2 - n \geq 13456, \]

или

\[ n^2 - n - 13456 \geq 0. \]

Рассчитаем корни этого квадратичного уравнения:

\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4 \times 13456}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 53824}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{53825}}{2}. \]

Найдем \(\sqrt{53825}\):

\[ \sqrt{53825} \approx 232. \]

Тогда приблизительно:

\[ n \approx \frac{1 + 232}{2} = \frac{233}{2} = 116.5. \]

Поскольку \(n\) — число вершин, оно должно быть целым числом, поэтому:

\[ n \geq 117. \]

Это означает, что чтобы сумма степеней могла достигать 13456, должно существовать:

\[ n \geq 117. \]

Теперь проверим обратное:

• Максимальная сумма степеней у полного графа \(K_{117}\):

\[ 117 \times 116 = 13{,}572. \]

Это больше, чем 13456. Следовательно, сумма степеней доходит до 13 572 при полном графе с 117 вершинами. А так как сумма степеней за 13 456 меньше, чем у полного графа, это вполне возможно, при условии, что степень каждой вершины немного ниже 116.

Далее, важно убедиться, что \(S = 13456\) — чётное число, что соответствует условию существования графа, так как сумма степеней должна быть чётной — это выполняется, поскольку 13456 — чётное.

Итог:
Поскольку существуют графы с числами вершин не менее 117, у которых сумма степеней равна любому чётному числу, не превышающему максимум для полного графа, и поскольку 13456 — чётное число, то да, граф с суммой степеней 13456 может существовать.

Ответ:
Да, такой граф может существовать.