Рассмотрим выражение: (\frac{5\sqrt{-243}}{32})
Шаг 1: Обратим внимание на корень (\sqrt{-243}).
Так как внутри корня стоит отрицательное число, нам нужно использовать комплексные числа. (\sqrt{-243}) можно представить как:
[
\sqrt{-243} = \sqrt{243} \cdot \sqrt{-1}
]
Напомню, что (\sqrt{-1} = i), где (i) — мнимая единица.
Шаг 2: Найдём (\sqrt{243}).
243 — это число, которое можно разложить на простые множители:
[
243 = 3^5
]
Значит:
[
\sqrt{243} = \sqrt{3^5} = \sqrt{3^4 \cdot 3} = \sqrt{(3^2)^2 \cdot 3} = 3^2 \sqrt{3} = 9\sqrt{3}
]
Шаг 3: Подставим обратно:
[
\sqrt{-243} = 9\sqrt{3} \cdot i
]
Шаг 4: Теперь выражение выглядит так:
[
\frac{5 \cdot 9\sqrt{3} \cdot i}{32} = \frac{45 \sqrt{3} \cdot i}{32}
]
Это и есть окончательный ответ в комплексных числах:
[
\boxed{\frac{45 \sqrt{3} \cdot i}{32}}
]
Если нужно представить в виде комплексного числа в стандартной форме:
[
0 + \frac{45 \sqrt{3}}{32} i
]
Ответ: (\frac{45 \sqrt{3} , i}{32})
