5√-243/32

Рассмотрим выражение: \(\frac{5\sqrt{-243}}{32}\)

Шаг 1: Обратим внимание на корень \(\sqrt{-243}\).

Так как внутри корня стоит отрицательное число, нам нужно использовать комплексные числа. \(\sqrt{-243}\) можно представить как:

\[ \sqrt{-243} = \sqrt{243} \cdot \sqrt{-1} \]

Напомню, что \(\sqrt{-1} = i\), где \(i\) — мнимая единица.

Шаг 2: Найдём \(\sqrt{243}\).

243 — это число, которое можно разложить на простые множители:

\[ 243 = 3^5 \]

Значит:

\[ \sqrt{243} = \sqrt{3^5} = \sqrt{3^4 \cdot 3} = \sqrt{(3^2)^2 \cdot 3} = 3^2 \sqrt{3} = 9\sqrt{3} \]

Шаг 3: Подставим обратно:

\[ \sqrt{-243} = 9\sqrt{3} \cdot i \]

Шаг 4: Теперь выражение выглядит так:

\[ \frac{5 \cdot 9\sqrt{3} \cdot i}{32} = \frac{45 \sqrt{3} \cdot i}{32} \]

Это и есть окончательный ответ в комплексных числах:

\[ \boxed{\frac{45 \sqrt{3} \cdot i}{32}} \]

Если нужно представить в виде комплексного числа в стандартной форме:

\[ 0 + \frac{45 \sqrt{3}}{32} i \]

Ответ: \(\frac{45 \sqrt{3} \, i}{32}\)