Алгебра и начала математического анализа 10 класс Промежуточная аттестация Контрольная работа Вариант 1. Часть 1 1. Найлите зиачение сosa , если sina 25 2. Найдите значение выражения 2cos67 -sin67 sinl34 3. Найдите корень уравнения log (4 - x) -7. 4. Найдите значение выражения 25 5. Решите уравнение 88 +7x = 9. Часть 2 6. Решите уравнение 6sin2 x +5sin( x)-2= 0 7. Решите неравенство: 3"+3" <28 Часть 3 8. Решите неравенство: log, ,(x+8) > loga ,(x-3)+ loga ,(3x)

Давайте подробно разберем задачи по алгебре и началу математического анализа для 10 класса. --- ### Часть 1 **1. Найдите значение \(\cos a\), если \(\sin a = \frac{2}{5}\).** **Решение:** - Из тригонометрического тождества: \[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \] - Подставляем \(\sin a = \frac{2}{5}\): \[ \left(\frac{2}{5}\right)^2 + \cos^2 a = 1 \] \[ \frac{4}{25} + \cos^2 a = 1 \] - Итак, \[ \cos^2 a = 1 - \frac{4}{25} = \frac{25}{25} - \frac{4}{25} = \frac{21}{25} \] - Тогда \[ \cos a = \pm \sqrt{\frac{21}{25}} = \pm \frac{\sqrt{21}}{5} \] **Ответ:** \(\cos a = \pm \frac{\sqrt{21}}{5}\). --- **2. Найдите значение выражения \(2 \cos 67^\circ - \sin 67^\circ \sin 34^\circ\).** **Решение:** - Обратимся к тригонометрическим формулам. Первое выражение — \(2 \cos 67^\circ\). - Для второго — \(\sin 67^\circ \sin 34^\circ\). - Используем формулу для произведения: \[ \sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) - \cos(A+B)] \] - Применяем: \[ \sin 67^\circ \sin 34^\circ = \frac{1}{2} [\cos(67^\circ - 34^\circ) - \cos(67^\circ + 34^\circ)] = \frac{1}{2} [\cos 33^\circ - \cos 101^\circ] \] - Тогда выражение: \[ 2 \cos 67^\circ - \frac{1}{2} (\cos 33^\circ - \cos 101^\circ) \] - Можно оставить так, либо численно посчитать, но для целей хорошего понимания диверсифицируем: - \(\cos 67^\circ \approx 0.3907\) - \(\cos 33^\circ \approx 0.8387\) - \(\cos 101^\circ \approx -0.1944\) - Подставляем: \[ 2 \times 0.3907 - \frac{1}{2} (0.8387 - (-0.1944)) = 0.7814 - \frac{1}{2} (1.0331) = 0.7814 - 0.51655 = 0.26485 \] **Ответ:** примерно **0.265**. --- **3. Найдите корень уравнения \(\log(4 - x) = 7\).** **Решение:** - Напишем: \[ \log(4 - x) = 7 \] - Предполагается, что логарифм — десятичный: \[ 4 - x = 10^7 \] \[ 4 - x = 10\,000\,000 \] - Следовательно \[ x = 4 - 10\,000\,000 = -9\,999\,996 \] **Ответ:** \(\boxed{-9\,999\,996}\). --- **4. Найдите значение выражения \(\sqrt{25}\).** **Решение:** - \(\sqrt{25} = 5\). Формально, при взятии квадратного корня допускается выбирать неотрицательное значение. **Ответ:** \(\boxed{5}\). --- **5. Решите уравнение \(8 + 7x = 9\).** **Решение:** - Вычтем 8 из обеих частей: \[ 7x = 9 - 8 = 1 \] - Делим обе стороны на 7: \[ x = \frac{1}{7} \] **Ответ:** \(\boxed{\frac{1}{7}}\). --- ### Часть 2 **6. Решите уравнение \(6 \sin^2 x + 5 \sin x - 2 = 0\).** **Решение:** - Введем: \(t = \sin x\). - Тогда уравнение: \[ 6 t^2 + 5 t - 2 = 0 \] - Решаем квадратное уравнение: \[ \Delta = 5^2 - 4 \times 6 \times (-2) = 25 + 48 = 73 \] - Корни: \[ t_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{73}}{2 \times 6} = \frac{-5 \pm \sqrt{73}}{12} \] - Проверка диапазона: \(\sin x\) может принимать значения только в отрезке \([-1, 1]\). - Вычислим приближительно: \[ \sqrt{73} \approx 8.544 \] Тогда: \[ t_1 = \frac{-5 + 8.544}{12} \approx \frac{3.544}{12} \approx 0.295 \] \[ t_2 = \frac{-5 - 8.544}{12} \approx \frac{-13.544}{12} \approx -1.128 \] - Второй корень — вне диапазона \(\sin x\), значит, игнорируем его. - Осталось найти \(x\): \[ \sin x \approx 0.295 \] - Решения: \[ x = \arcsin(0.295) + 2 \pi k, \quad x = \pi - \arcsin(0.295) + 2 \pi k \] где \(k \in \mathbb{Z}\). **Ответ:** \[ x \approx \arcsin(0.295) + 2 \pi k \quad \text{или} \quad x \approx \pi - \arcsin(0.295) + 2 \pi k \] --- **7. Решите неравенство \(3^{x+3} + 3^{x} < 28\).** **Решение:** - Перепишем: \[ 3^{x+3} + 3^{x} < 28 \] - Так как \(3^{x+3} = 3^3 \cdot 3^{x} = 27 \cdot 3^{x}\), получаем: \[ 27 \cdot 3^{x} + 3^{x} < 28 \] \[ (27 + 1) \cdot 3^{x} < 28 \] \[ 28 \cdot 3^{x} < 28 \] \[ 3^{x} < 1 \] - Так как \(3^{x}\) — строго монотонная функция, то: \[ x < 0 \] **Ответ:** \(\boxed{x < 0}\). --- ### Часть 3 **8. Решите неравенство: \(\log_a (x+8) > \log_a (x-3) + \log_a (3x)\).** **Решение:** - Правила логарифмов: \(\log_a p + \log_a q = \log_a (pq)\) - Перепишем: \[ \log_a (x+8) > \log_a [(x-3) \cdot 3x] \] - При условии, что основания и аргументы логарифмов положительны: \[ x + 8 > 0 \Rightarrow x > -8 \] \[ x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3 \] \[ 3x > 0 \Rightarrow x > 0 \] - Можно ограничиться \(x > 3\). - Тогда неравенство сведется к: \[ x + 8 > (x - 3) \cdot 3x \] - Раскроем скобки: \[ x + 8 > 3x^2 - 9x \] - Перенесем всё в левую сторону: \[ 0 > 3x^2 - 9x - x - 8 \] \[ 0 > 3x^2 - 10x - 8 \] - Решим квадратичное неравенство: \[ 3x^2 - 10x - 8 < 0 \] - Находим корни: \[ \Delta = (-10)^2 - 4 \times 3 \times (-8) = 100 + 96 = 196 \] \[ x_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{196}}{2 \times 3} = \frac{10 \pm 14}{6} \] - Вычисляем: \[ x_1 = \frac{10 - 14}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3} \] \[ x_2 = \frac{10 + 14}{6} = \frac{24}{6} = 4 \] - Поскольку коэффициент при \(x^2\) положителен, корни разделяют интервал: \[ 3x^2 - 10x - 8 < 0 \quad \text{при} \quad -\frac{2}{3} < x < 4 \] - Но при этом нужно учитывать и ограничение \(x > 3\), чтобы аргументы логарифмов были положительны. - Итоговая область решений: \[ x > 3 \quad \text{и} \quad x < 4 \] **Ответ:** \[ \boxed{3 < x < 4} \] --- Если нужно подробнее по какому-либо из пунктов или есть дополнительные вопросы, я готов помочь!