Алгебра и начала математического анализа 10 класс Промежуточная аттестация Контрольная работа Вариант 1. Часть 1 1. Найлите зиачение сosa , если sina 25 2. Найдите значение…

Давайте подробно разберем задачи по алгебре и началу математического анализа для 10 класса.

---

Часть 1

1. Найдите значение \(\cos a\), если \(\sin a = \frac{2}{5}\).

Решение:

• Из тригонометрического тождества:

  \[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \]

• Подставляем \(\sin a = \frac{2}{5}\):

  \[ \left(\frac{2}{5}\right)^2 + \cos^2 a = 1 \] \[ \frac{4}{25} + \cos^2 a = 1 \]

• Итак,

  \[ \cos^2 a = 1 - \frac{4}{25} = \frac{25}{25} - \frac{4}{25} = \frac{21}{25} \]

• Тогда

  \[ \cos a = \pm \sqrt{\frac{21}{25}} = \pm \frac{\sqrt{21}}{5} \]

Ответ: \(\cos a = \pm \frac{\sqrt{21}}{5}\).

---

2. Найдите значение выражения \(2 \cos 67^\circ - \sin 67^\circ \sin 34^\circ\).

Решение:

• Обратимся к тригонометрическим формулам. Первое выражение — \(2 \cos 67^\circ\).

• Для второго — \(\sin 67^\circ \sin 34^\circ\).

• Используем формулу для произведения:

  \[ \sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) - \cos(A+B)] \]

• Применяем:

  \[ \sin 67^\circ \sin 34^\circ = \frac{1}{2} [\cos(67^\circ - 34^\circ) - \cos(67^\circ + 34^\circ)] = \frac{1}{2} [\cos 33^\circ - \cos 101^\circ] \]

• Тогда выражение:

  \[ 2 \cos 67^\circ - \frac{1}{2} (\cos 33^\circ - \cos 101^\circ) \]

• Можно оставить так, либо численно посчитать, но для целей хорошего понимания диверсифицируем:

  • \(\cos 67^\circ \approx 0.3907\)
  • \(\cos 33^\circ \approx 0.8387\)
  • \(\cos 101^\circ \approx -0.1944\)

• Подставляем:

  \[ 2 \times 0.3907 - \frac{1}{2} (0.8387 - (-0.1944)) = 0.7814 - \frac{1}{2} (1.0331) = 0.7814 - 0.51655 = 0.26485 \]

Ответ: примерно 0.265.

---

3. Найдите корень уравнения \(\log(4 - x) = 7\).

Решение:

• Напишем:

  \[ \log(4 - x) = 7 \]

• Предполагается, что логарифм — десятичный:

  \[ 4 - x = 10^7 \] \[ 4 - x = 10\,000\,000 \]

• Следовательно

  \[ x = 4 - 10\,000\,000 = -9\,999\,996 \]

Ответ: \(\boxed{-9\,999\,996}\).

---

4. Найдите значение выражения \(\sqrt{25}\).

Решение:

• \(\sqrt{25} = 5\). Формально, при взятии квадратного корня допускается выбирать неотрицательное значение.

Ответ: \(\boxed{5}\).

---

5. Решите уравнение \(8 + 7x = 9\).

Решение:

• Вычтем 8 из обеих частей:

  \[ 7x = 9 - 8 = 1 \]

• Делим обе стороны на 7:

  \[ x = \frac{1}{7} \]

Ответ: \(\boxed{\frac{1}{7}}\).

---

Часть 2

6. Решите уравнение \(6 \sin^2 x + 5 \sin x - 2 = 0\).

Решение:

• Введем: \(t = \sin x\).

• Тогда уравнение:

  \[ 6 t^2 + 5 t - 2 = 0 \]

• Решаем квадратное уравнение:

  \[ \Delta = 5^2 - 4 \times 6 \times (-2) = 25 + 48 = 73 \]

• Корни:

  \[ t_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{73}}{2 \times 6} = \frac{-5 \pm \sqrt{73}}{12} \]

• Проверка диапазона:

  \(\sin x\) может принимать значения только в отрезке \([-1, 1]\).

• Вычислим приближительно:

  \[ \sqrt{73} \approx 8.544 \]

  Тогда:

  \[ t_1 = \frac{-5 + 8.544}{12} \approx \frac{3.544}{12} \approx 0.295 \]

  \[ t_2 = \frac{-5 - 8.544}{12} \approx \frac{-13.544}{12} \approx -1.128 \]

• Второй корень — вне диапазона \(\sin x\), значит, игнорируем его.

• Осталось найти \(x\):

  \[ \sin x \approx 0.295 \]

• Решения:

  \[ x = \arcsin(0.295) + 2 \pi k, \quad x = \pi - \arcsin(0.295) + 2 \pi k \]

  где \(k \in \mathbb{Z}\).

Ответ:

\[ x \approx \arcsin(0.295) + 2 \pi k \quad \text{или} \quad x \approx \pi - \arcsin(0.295) + 2 \pi k \]

---

7. Решите неравенство \(3^{x+3} + 3^{x} < 28\).

Решение:

• Перепишем:

\[ 3^{x+3} + 3^{x} < 28 \]

• Так как \(3^{x+3} = 3^3 \cdot 3^{x} = 27 \cdot 3^{x}\), получаем:

\[ 27 \cdot 3^{x} + 3^{x} < 28 \] \[ (27 + 1) \cdot 3^{x} < 28 \] \[ 28 \cdot 3^{x} < 28 \] \[ 3^{x} < 1 \]

• Так как \(3^{x}\) — строго монотонная функция, то:

\[ x < 0 \]

Ответ: \(\boxed{x < 0}\).

---

Часть 3

8. Решите неравенство: \(\log_a (x+8) > \log_a (x-3) + \log_a (3x)\).

Решение:

• Правила логарифмов: \(\log_a p + \log_a q = \log_a (pq)\)

• Перепишем:

\[ \log_a (x+8) > \log_a [(x-3) \cdot 3x] \]

• При условии, что основания и аргументы логарифмов положительны:

\[ x + 8 > 0 \Rightarrow x > -8 \] \[ x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3 \] \[ 3x > 0 \Rightarrow x > 0 \]

• Можно ограничиться \(x > 3\).

• Тогда неравенство сведется к:

\[ x + 8 > (x - 3) \cdot 3x \]

• Раскроем скобки:

\[ x + 8 > 3x^2 - 9x \]

• Перенесем всё в левую сторону:

\[ 0 > 3x^2 - 9x - x - 8 \] \[ 0 > 3x^2 - 10x - 8 \]

• Решим квадратичное неравенство:

\[ 3x^2 - 10x - 8 < 0 \]

• Находим корни:

\[ \Delta = (-10)^2 - 4 \times 3 \times (-8) = 100 + 96 = 196 \]

\[ x_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{196}}{2 \times 3} = \frac{10 \pm 14}{6} \]

• Вычисляем:

\[ x_1 = \frac{10 - 14}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3} \] \[ x_2 = \frac{10 + 14}{6} = \frac{24}{6} = 4 \]

• Поскольку коэффициент при \(x^2\) положителен, корни разделяют интервал:

\[ 3x^2 - 10x - 8 < 0 \quad \text{при} \quad -\frac{2}{3} < x < 4 \]

• Но при этом нужно учитывать и ограничение \(x > 3\), чтобы аргументы логарифмов были положительны.

• Итоговая область решений:

\[ x > 3 \quad \text{и} \quad x < 4 \]

Ответ:

\[ \boxed{3 < x < 4} \]

---

Если нужно подробнее по какому-либо из пунктов или есть дополнительные вопросы, я готов помочь!