Задумали трехзначное число которое делится на 45 затем поменяли местами цифры в разрядах десятков и единиц и полученное число вычли из задуманного получили число 72 какое число было задумано

Давайте вместе решим задачу пошагово. **Задача:** Задумано трехзначное число, которое делится на 45. Его цифры — сотни, десятки и единицы. Затем цифры десятков и единиц меняют местами, получают новое число, и это новое число вычитают из первоначального, получая 72. Нужно найти первоначальное число. --- ### Шаг 1. Обозначение переменных Обозначим число так: \[ N = 100a + 10b + c \] где - \( a \) — цифра в разряде сотен (от 1 до 9, так как число трехзначное), - \( b \) — цифра в разряде десятков (от 0 до 9), - \( c \) — цифра в разряде единиц (от 0 до 9). ### Шаг 2. Условие делимости на 45 Число делится на 45 тогда и только тогда, когда оно делится на 9 и на 5. - Делимость на 5: последняя цифра \( c \) должна быть 0 или 5. - Делимость на 9: сумма цифр должна быть кратна 9. Значит: \[ c \in \{0, 5\} \] и \[ a + b + c \text{ кратно 9} \]. --- ### Шаг 3. Новое число после перестановки цифр десятков и единиц После перестановки: \[ N' = 100a + 10c + b \]. --- ### Шаг 4. Условие о разности По условию: \[ N - N' = 72 \]. Подставим выражения: \[ (100a + 10b + c) - (100a + 10c + b) = 72 \]. Раскроем скобки: \[ 100a + 10b + c - 100a - 10c - b = 72 \]. Упростим: \[ 10b + c - 10c - b = 72 \]. Объединим подобные: \[ (10b - b) + (c - 10c) = 72 \] \[ 9b - 9c = 72 \]. Выделим 9: \[ 9 (b - c) = 72 \]. Отсюда: \[ b - c = 8 \]. ### Шаг 5. Анализ значений \( c \) Поскольку \( c \in \{0, 5\} \), рассмотрим оба варианта: **Вариант 1:** \( c = 0 \) Тогда: \( b - 0 = 8 \Rightarrow b = 8 \). **Вариант 2:** \( c = 5 \) Тогда: \( b - 5 = 8 \Rightarrow b = 13 \), что невозможно, так как цифра \( b \) должна быть от 0 до 9. Следовательно, допустимый вариант только при \( c = 0 \), \( b = 8 \). --- ### Шаг 6. Проверка делимости на 9 Общая сумма цифр: \[ a + b + c = a + 8 + 0 = a + 8 \]. Эта сумма должна быть кратна 9: \[ a + 8 \equiv 0 \ (\text{mod } 9) \]. Это означает: \[ a + 8 \equiv 0 \ (\text{mod } 9) \Rightarrow a \equiv 1 \ (\text{mod } 9) \]. Значения \( a \) — цифры 1 по 9: - При \( a = 1 \): сумма \( 1 + 8 = 9 \), делится на 9, подходит. - При \( a = 10 \): невозможно, так как цифра в разряде сотен не может быть 10. Следовательно, \( a = 1 \). --- ### Итог: - \( a = 1 \), - \( b = 8 \), - \( c = 0 \). Первоначальное число: \[ N = 100 \times 1 + 10 \times 8 + 0 = 100 + 80 = 180 \]. Проверим: - Делится на 45: - Последняя цифра 0 → делится на 5. - Сумма цифр \( 1+8+0=9 \) → делится на 9. - Значит, число делится на 45. - После перестановки: \[ N' = 100 \times 1 + 10 \times 0 + 8 = 100 + 8 = 108 \]. - Разность: \[ 180 - 108 = 72 \], что соответствует условию. --- ## Итог: **Задуманное число — 180.**