Задумали трехзначное число которое делится на 45 затем поменяли местами цифры в разрядах десятков и единиц и полученное число вычли из задуманного получили число 72 какое число было задумано

Давайте вместе решим задачу пошагово.

Задача:
Задумано трехзначное число, которое делится на 45. Его цифры — сотни, десятки и единицы. Затем цифры десятков и единиц меняют местами, получают новое число, и это новое число вычитают из первоначального, получая 72. Нужно найти первоначальное число.

---

Шаг 1. Обозначение переменных

Обозначим число так:
\[ N = 100a + 10b + c \]

где

• \( a \) — цифра в разряде сотен (от 1 до 9, так как число трехзначное),
• \( b \) — цифра в разряде десятков (от 0 до 9),
• \( c \) — цифра в разряде единиц (от 0 до 9).

Шаг 2. Условие делимости на 45

Число делится на 45 тогда и только тогда, когда оно делится на 9 и на 5.

• Делимость на 5: последняя цифра \( c \) должна быть 0 или 5.
• Делимость на 9: сумма цифр должна быть кратна 9.

Значит:
\[ c \in \{0, 5\} \] и
\[ a + b + c \text{ кратно 9} \].

---

Шаг 3. Новое число после перестановки цифр десятков и единиц

После перестановки:
\[ N' = 100a + 10c + b \].

---

Шаг 4. Условие о разности

По условию:
\[ N - N' = 72 \].

Подставим выражения:
\[ (100a + 10b + c) - (100a + 10c + b) = 72 \].

Раскроем скобки:
\[ 100a + 10b + c - 100a - 10c - b = 72 \].

Упростим:
\[ 10b + c - 10c - b = 72 \].

Объединим подобные:
\[ (10b - b) + (c - 10c) = 72 \]
\[ 9b - 9c = 72 \].

Выделим 9:
\[ 9 (b - c) = 72 \].

Отсюда:
\[ b - c = 8 \].

Шаг 5. Анализ значений \( c \)

Поскольку \( c \in \{0, 5\} \), рассмотрим оба варианта:

Вариант 1: \( c = 0 \)
Тогда: \( b - 0 = 8 \Rightarrow b = 8 \).

Вариант 2: \( c = 5 \)
Тогда: \( b - 5 = 8 \Rightarrow b = 13 \), что невозможно, так как цифра \( b \) должна быть от 0 до 9.

Следовательно, допустимый вариант только при \( c = 0 \), \( b = 8 \).

---

Шаг 6. Проверка делимости на 9

Общая сумма цифр:
\[ a + b + c = a + 8 + 0 = a + 8 \].

Эта сумма должна быть кратна 9:
\[ a + 8 \equiv 0 \ (\text{mod } 9) \].

Это означает:
\[ a + 8 \equiv 0 \ (\text{mod } 9) \Rightarrow a \equiv 1 \ (\text{mod } 9) \].

Значения \( a \) — цифры 1 по 9:

• При \( a = 1 \): сумма \( 1 + 8 = 9 \), делится на 9, подходит.
• При \( a = 10 \): невозможно, так как цифра в разряде сотен не может быть 10.

Следовательно, \( a = 1 \).

---

Итог:

• \( a = 1 \),
• \( b = 8 \),
• \( c = 0 \).

Первоначальное число:
\[ N = 100 \times 1 + 10 \times 8 + 0 = 100 + 80 = 180 \].

Проверим:

• Делится на 45:

  • Последняя цифра 0 → делится на 5.
  • Сумма цифр \( 1+8+0=9 \) → делится на 9.
  • Значит, число делится на 45.

• После перестановки:
  \[ N' = 100 \times 1 + 10 \times 0 + 8 = 100 + 8 = 108 \].

• Разность:
  \[ 180 - 108 = 72 \], что соответствует условию.

---

Итог:

Задуманное число — 180.