Площадь параллелограмма АBCD равна 124. Точка Е середина стороны АВ. Найдите площадь трапеции DAEC.

Рассмотрим задачу поэтапно и детально. **Дано:** - Площадь параллелограмма \(ABCD = 124\). - Точка \(E\) — середина стороны \(AB\). - Требуется найти площадь трапеции \(DAEC\). --- ### Шаг 1. Вводные данные и обозначения Обозначим: - \(A, B, C, D\) — вершины параллелограмма. - \(ABCD\) — параллелограмм. - \(E\) — середина стороны \(AB\). Дано, что площадь параллелограмма \(ABCD = 124\). --- ### Шаг 2. Введение системы координат Для объяснения сделаем упрощение, введем координаты: - Пусть \(A = (0,0)\). - Пусть \(B = (b,0)\), где \(b > 0\). - Пусть \(D = (0, d)\) (вершина слева снизу). - Тогда \(C = B + D = (b, d)\). Площадь параллелограмма: \[ S_{ABCD} = |AB| \times высота = b \times d \] где \(b = |AB|\), \(d\) — высота. По условию: \[ b \times d = 124 \] --- ### Шаг 3. Координаты точки \(E\) \(E\) — середина \(AB\): \[ E = \left(\frac{0 + b}{2}, 0\right) = \left(\frac{b}{2}, 0\right) \] --- ### Шаг 4. Определение трапеции \(DAEC\) Трапеция \(DAEC\) — это фигура, образованная вершинами: - \(D = (0, d)\), - \(A = (0, 0)\), - \(E = \left(\frac{b}{2}, 0\right)\), - \(C = (b, d)\). Графически: - \(A\) и \(E\) лежат на оси \(x\), - \(D\) и \(C\) — на верхней линии параллелограмма. --- ### Шаг 5. Определение основания и высоты трапеции Рассмотрим стороны трапеции: - Боке \(A E\) — нижнее основание от \((0,0)\) до \(\left(\frac{b}{2},0\right)\), - Боке \(D C\) — верхнее основание от \((0, d)\) до \((b, d)\). Уровни: - Нижняя основание: \(A E\). - Верхняя основание: \(D C\). Вершины: - \(A = (0,0)\), - \(E = \left(\frac{b}{2}, 0\right)\), - \(D = (0, d)\), - \(C = (b, d)\). --- ### Шаг 6. Площадь трапеции \(DAEC\) Обозначим: - Нижнее основание: \(A E\), длина \(\frac{b}{2}\), - Верхнее основание: \(D C\), длина \(b\), - Высота: расстояние между линиями \(A E\) и \(D C\). Так как эти линии параллельны (обе лежат на линиях \(y=0\), \(y=d\)), высота = \(d\). Площадь трапеции: \[ S_{DAEC} = \frac{1}{2} \times (a_1 + a_2) \times h \] где: - \(a_1 = \frac{b}{2}\), - \(a_2 = b\), - \(h = d\). Подставим: \[ S_{DAEC} = \frac{1}{2} \times \left(\frac{b}{2} + b\right) \times d = \frac{1}{2} \times \left(\frac{b}{2} + \frac{2b}{2}\right) \times d = \frac{1}{2} \times \frac{3b}{2} \times d \] \[ S_{DAEC} = \frac{3b}{4} \times d \] --- ### Шаг 7. Использование условия площади параллелограмма По условию: \[ b \times d = 124 \] или: \[ d = \frac{124}{b} \] Подставим в формулу площади трапеции: \[ S_{DAEC} = \frac{3b}{4} \times \frac{124}{b} = \frac{3b}{4} \times \frac{124}{b} \] Упростим: \[ S_{DAEC} = \frac{3 \times 124}{4} = \frac{372}{4} = 93 \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{S_{DAEC} = 93} \] Площадь трапеции \(DAEC\) равна **93**.