Площадь параллелограмма АBCD равна 124. Точка Е середина стороны АВ. Найдите площадь трапеции DAEC.
Рассмотрим задачу поэтапно и детально.
Дано:
- Площадь параллелограмма \(ABCD = 124\).
- Точка \(E\) — середина стороны \(AB\).
- Требуется найти площадь трапеции \(DAEC\).
Шаг 1. Вводные данные и обозначения
Обозначим:
- \(A, B, C, D\) — вершины параллелограмма.
- \(ABCD\) — параллелограмм.
- \(E\) — середина стороны \(AB\).
Дано, что площадь параллелограмма \(ABCD = 124\).
Шаг 2. Введение системы координат
Для объяснения сделаем упрощение, введем координаты:
- Пусть \(A = (0,0)\).
- Пусть \(B = (b,0)\), где \(b > 0\).
- Пусть \(D = (0, d)\) (вершина слева снизу).
- Тогда \(C = B + D = (b, d)\).
Площадь параллелограмма:
\[
S_{ABCD} = |AB| \times высота = b \times d
\]
где \(b = |AB|\), \(d\) — высота.
По условию:
\[
b \times d = 124
\]
Шаг 3. Координаты точки \(E\)
\(E\) — середина \(AB\):
\[ E = \left(\frac{0 + b}{2}, 0\right) = \left(\frac{b}{2}, 0\right) \]
Шаг 4. Определение трапеции \(DAEC\)
Трапеция \(DAEC\) — это фигура, образованная вершинами:
- \(D = (0, d)\),
- \(A = (0, 0)\),
- \(E = \left(\frac{b}{2}, 0\right)\),
- \(C = (b, d)\).
Графически:
- \(A\) и \(E\) лежат на оси \(x\),
- \(D\) и \(C\) — на верхней линии параллелограмма.
Шаг 5. Определение основания и высоты трапеции
Рассмотрим стороны трапеции:
- Боке \(A E\) — нижнее основание от \((0,0)\) до \(\left(\frac{b}{2},0\right)\),
- Боке \(D C\) — верхнее основание от \((0, d)\) до \((b, d)\).
Уровни:
- Нижняя основание: \(A E\).
- Верхняя основание: \(D C\).
Вершины:
- \(A = (0,0)\),
- \(E = \left(\frac{b}{2}, 0\right)\),
- \(D = (0, d)\),
- \(C = (b, d)\).
Шаг 6. Площадь трапеции \(DAEC\)
Обозначим:
- Нижнее основание: \(A E\), длина \(\frac{b}{2}\),
- Верхнее основание: \(D C\), длина \(b\),
- Высота: расстояние между линиями \(A E\) и \(D C\).
Так как эти линии параллельны (обе лежат на линиях \(y=0\), \(y=d\)), высота = \(d\).
Площадь трапеции:
\[
S_{DAEC} = \frac{1}{2} \times (a_1 + a_2) \times h
\]
где:
- \(a_1 = \frac{b}{2}\),
- \(a_2 = b\),
- \(h = d\).
Подставим: \[ S_{DAEC} = \frac{1}{2} \times \left(\frac{b}{2} + b\right) \times d = \frac{1}{2} \times \left(\frac{b}{2} + \frac{2b}{2}\right) \times d = \frac{1}{2} \times \frac{3b}{2} \times d \] \[ S_{DAEC} = \frac{3b}{4} \times d \]
Шаг 7. Использование условия площади параллелограмма
По условию: \[ b \times d = 124 \] или: \[ d = \frac{124}{b} \]
Подставим в формулу площади трапеции: \[ S_{DAEC} = \frac{3b}{4} \times \frac{124}{b} = \frac{3b}{4} \times \frac{124}{b} \]
Упростим: \[ S_{DAEC} = \frac{3 \times 124}{4} = \frac{372}{4} = 93 \]
Ответ:
\[ \boxed{S_{DAEC} = 93} \]
Площадь трапеции \(DAEC\) равна 93.
