Решить

Давайте подробно решим задачу.

Дана функция: \[ f(x) = \frac{8}{x+2} - 4 \]

1) Построить график функции \( y = f(x) \)

Для построения графика функции лучше всего привести ее к более удобному виду и понять её основные свойства.

Шаг 1: Анализ функции

Функция имеет вид: \[ f(x) = \frac{8}{x+2} - 4 \]

Это рациональная функция, у которой есть асимптоты.

Шаг 2: Найти области определения

Рациональная функция определена там, где знаменатель не равен нулю: \[ x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2 \] Область определения: все \( x \), кроме \( -2 \).

Шаг 3: Обнаружить асимптоты

• Вертикальная асимптота: при \( x \to -2 \), знаменатель стремится к нулю, а значение функции растет либо убывает без границ. Итак, вертикальная асимптота: \[ x = -2 \]

• Горизонтальная асимптота: рассмотрим предел функции при \( x \to \pm \infty \): \[ \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim_{x \to \pm \infty} \left( \frac{8}{x+2} - 4 \right) \] Предел \(\frac{8}{x+2}\to 0\), поэтому: \[ \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = -4 \] Горизонтальная асимптота: \( y = -4 \).

Шаг 4: Построение графика

• Для определения формы графика возьмем несколько значений \( x \).

Например:

• \( x = 0 \): \[ f(0) = \frac{8}{0+2} - 4 = \frac{8}{2} - 4 = 4 - 4 = 0 \]

• \( x = 1 \): \[ f(1) = \frac{8}{3} - 4 \approx 2.67 - 4 = -1.33 \]

• \( x = -1 \): \[ f(-1) = \frac{8}{-1+2} - 4 = \frac{8}{1} - 4 = 8 - 4 = 4 \]

• \( x = -3 \): \[ f(-3) = \frac{8}{-3+2} - 4 = \frac{8}{-1} - 4 = -8 - 4 = -12 \]

• При \( x = -5 \): \[ f(-5) = \frac{8}{-5+2} - 4 = \frac{8}{-3} - 4 \approx -2.67 -4 = -6.67 \]

Используя эти точки и асимптоты, можно построить график функции.

2) При каких значениях \( c \) уравнение \( f(x) = c \) имеет ровно одно решение?

Для этого решим уравнение: \[ f(x) = c \Rightarrow \frac{8}{x+2} - 4 = c \]

Перенесем \( c \) в левую сторону: \[ \frac{8}{x+2} = c + 4 \]

Обозначим \( C = c + 4 \), тогда: \[ \frac{8}{x+2} = C \] или \[ x + 2 = \frac{8}{C} \]

Решение уравнения относительно \( x \): \[ x = \frac{8}{C} - 2 \]

Теперь рассматриваем, при каких \( c \) уравнение имеет ровно одно решение.

• Если \( C \neq 0 \):

  Тогда есть одно решение \( x = \frac{8}{C} - 2 \).

• Если \( C = 0 \):

  Тогда уравнение: \[ \frac{8}{x+2} = 0 \] не имеет решений, потому что дробь равна нулю только при numerator равном нулю, а 8 не равна нулю.

Таким образом, уравнение имеет ровно одно решение при всех \( c \), кроме \( c \) таких, что \( C = 0 \). То есть:

\[ c + 4 \neq 0 \Rightarrow c \neq -4 \]

А при \( c = -4 \), уравнение превращается в:

\[ f(x) = -4 \Rightarrow \frac{8}{x+2} - 4 = -4 \] \[ \frac{8}{x+2} = 0 \] что не имеет решений.

Ответ: уравнение \( f(x) = c \) имеет ровно одно решение для всех \( c \neq -4 \).

Если нужно — я могу помочь и с построением графика, объяснив подробнее какие преобразования сделать на бумаге или графике.