Давайте подробно разберём задачу: нужно найти радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник со стороной 18√3.
Шаг 1. Запишем данные:
- сторона треугольника ( a = 18\sqrt{3} )
Шаг 2. Найдём радиус вписанной окружности ( r ).
В равностороннем треугольнике радиус вписанной окружности связаны со стороной следующим соотношением:
[
r = \frac{a \sqrt{3}}{6}
]
или через радиус описанной окружности ( R ):
[
r = \frac{a}{2\sqrt{3}}
]
Но давайте выведем изначально формулы, чтобы понять, как они получены.
Метод 1: через радиус описанной окружности
Радиус описанной окружности равен:
[
R = \frac{a}{\sqrt{3}}
]
Это для равностороннего треугольника.
Метод 2: радиус вписанной окружности
Для равностороннего треугольника радиус вписанной окружности определяется как:
[
r = \frac{a \sqrt{3}}{6}
]
или можно выразить через площадь ( S ):
[
S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2
]
Радиус вписанной окружности:
[
r = \frac{2S}{\text{периметр}}
]
Периметр ( P = 3a ), а площадь ( S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 ):
[
r = \frac{2 \times \frac{\sqrt{3}}{4} a^2}{3a} = \frac{\sqrt{3} a^2}{6a} = \frac{\sqrt{3} a}{6}
]
Подставим значение ( a = 18 \sqrt{3} ):
[
r = \frac{\sqrt{3} \times 18 \sqrt{3}}{6}
]
Обратите внимание, что ( \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3 ):
[
r = \frac{3 \times 18}{6} = \frac{54}{6} = 9
]
Итог: Радиус вписанной окружности равен 9.
Ответ: радиус вписанной окружности равен 9.
