Дано: один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 30 см. Нужно найти гипотенузу.
Шаг 1: Обозначим:
- гипотенузу как ( c ),
- меньший катет как ( a ),
- больший катет как ( b ).
Также известно, что один из острых углов равен 60°. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°, значит, другой острый угол равен 30°.
Шаг 2: По свойствам такого треугольника:
- ( \sin 30^\circ = \frac{a}{c} ),
- ( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} ),
поэтому:
[ a = \frac{1}{2} c ].
Шаг 3: По условию, сумма гипотенузы и меньшего катета равна 30 см:
[ c + a = 30 ].
Подставим ( a = \frac{1}{2} c ):
[ c + \frac{1}{2} c = 30 ],
[ \frac{3}{2} c = 30 ].
Шаг 4: Решим это уравнение:
[ c = \frac{30 \times 2}{3} = \frac{60}{3} = 20 ].
Ответ: гипотенуза равна 20 см.
Проверка:
Меньший катет ( a = \frac{1}{2} \times 20 = 10 ) см,
и сумма: ( 20 + 10 = 30 ) см — соответствует условию.
Ответ: гипотенуза равна 20 сантиметров.
