Нужно найти область определения

Рассмотрим каждую функцию и определим её область определения (то есть — множество всех допустимых значений переменной \( x \)), исходя из условий, при которых выражение допустимо и не выходит за пределы математической операции.

1)  \( y = \frac{\sqrt{x^2 - 5x + 4}}{\sqrt{x - 5}} \)

Анализ:

• В числителе под корнем: \( x^2 - 5x + 4 \).
  Для корня выражение должно быть \(\geq 0 \):

  \[ x^2 - 5x + 4 \geq 0 \]

  решим неравенство:

  • Факторизация: \( x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4) \)

  • Знаки протестируем по интервалам:

    \[ (x - 1)(x - 4) \geq 0 \]

    • Когда оба фактора положительны или оба отрицательны:

      • \( x \leq 1 \) — оба отрицательны, значит произведение \(\geq 0\)

      • \( x \geq 4 \) — оба положительны

    • Итак,

      \[ x \leq 1 \quad \text{или} \quad x \geq 4 \]

• В знаменателе тоже корень: \( \sqrt{x - 5} \)

  Для существования корня:
  \[ x - 5 > 0 \Rightarrow x > 5 \]

• Кроме того, знаменатель не должен равняться нулю, поэтому:

  \[ \sqrt{x - 5} \neq 0 \Rightarrow x \neq 5 \]

  Но так как \( x > 5 \), то \( x \neq 5 \) уже входит в условие.

• Итоговые ограничения:

  • \( x > 5 \)

  • Также \( x \leq 1 \) или \( x \geq 4 \), причем \( x > 5 \), значит, подходящая часть — \( x \geq 4 \), а так как \( x > 5 \), то:

    \[ x > 5 \]

Область определения:

\[ \boxed{(5, +\infty)} \]

2)  \( y = \frac{\sqrt{x^2 - 4x}}{x + 8} \)

Анализ:

• В числителе под корнем: \( x^2 - 4x \), должно быть \(\geq 0\):

  \[ x^2 - 4x \geq 0 \]

  • Факторизация: \( x(x - 4) \geq 0 \)

  • Знаки:

    • \( x \leq 0 \) или \( x \geq 4 \), потому что произведение неотрицательно, когда переменные имеют одинаковый знак.

• В знаменателе \( x + 8 \neq 0 \Rightarrow x \neq -8 \).

• Объединение ограничений:

  \[ x \leq 0 \quad \text{или} \quad x \geq 4, \quad \text{при этом} \quad x \neq -8 \]

• Разделим на два интервала:

  • Для \( x \leq 0 \), исключая точку \( x = -8 \):

    \[ (-\infty, -8) \cup (-8, 0] \]

  • Для \( x \geq 4 \):

    \[ [4, +\infty) \]

Область определения:

\[ \boxed{(-\infty, -8) \cup (-8, 0] \cup [4, +\infty)} \]

3)  \( y = \sqrt{15x - 3x^2} + \sqrt{x - 4} \)

Анализ:

• Первая часть: \( 15x - 3x^2 \geq 0 \)

  • Вынесем общий множитель: \( 3x(5 - x) \geq 0 \)

  • Решим неравенство:

    \[ 3x(5 - x) \geq 0 \]

  • Знаки:

    • \( x \geq 0 \) и \( 5 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 5 \)

    • Иначе \( x \leq 0 \) или \( x \geq 5 \) — выражение будет >= 0 для:

      \[ x \in [0, 5] \]

• Вторая часть: \( x - 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq 4 \)

• Таким образом, для обеих radикалов:

  • Одновременно \( x \in [0,5] \) и \( x \geq 4 \):

    \[ x \in [4,5] \]

— в этом диапазоне обе корень существуют.

Область определения:

\[ \boxed{[4, 5]} \]

Итоги:

• Для функции 1: \( (5, +\infty) \)
• Для функции 2: \( (-\infty, -8) \cup (-8, 0] \cup [4, +\infty) \)
• Для функции 3: \( [4, 5] \)

Если нужно подробнее объяснить любой из пунктов — скажи!