Нужно найти область определения

Рассмотрим каждую функцию и определим её область определения (то есть — множество всех допустимых значений переменной \( x \)), исходя из условий, при которых выражение допустимо и не выходит за пределы математической операции. --- ### 1)  \( y = \frac{\sqrt{x^2 - 5x + 4}}{\sqrt{x - 5}} \) **Анализ:** - В числителе под корнем: \( x^2 - 5x + 4 \). Для корня выражение должно быть \(\geq 0 \): \[ x^2 - 5x + 4 \geq 0 \] решим неравенство: - Факторизация: \( x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4) \) - Знаки протестируем по интервалам: \[ (x - 1)(x - 4) \geq 0 \] - Когда оба фактора положительны или оба отрицательны: - \( x \leq 1 \) — оба отрицательны, значит произведение \(\geq 0\) - \( x \geq 4 \) — оба положительны - Итак, \[ x \leq 1 \quad \text{или} \quad x \geq 4 \] - В знаменателе тоже корень: \( \sqrt{x - 5} \) Для существования корня: \[ x - 5 > 0 \Rightarrow x > 5 \] - Кроме того, знаменатель не должен равняться нулю, поэтому: \[ \sqrt{x - 5} \neq 0 \Rightarrow x \neq 5 \] Но так как \( x > 5 \), то \( x \neq 5 \) уже входит в условие. - Итоговые ограничения: - \( x > 5 \) - Также \( x \leq 1 \) или \( x \geq 4 \), причем \( x > 5 \), значит, подходящая часть — \( x \geq 4 \), а так как \( x > 5 \), то: \[ x > 5 \] **Область определения:** \[ \boxed{(5, +\infty)} \] --- ### 2)  \( y = \frac{\sqrt{x^2 - 4x}}{x + 8} \) **Анализ:** - В числителе под корнем: \( x^2 - 4x \), должно быть \(\geq 0\): \[ x^2 - 4x \geq 0 \] - Факторизация: \( x(x - 4) \geq 0 \) - Знаки: - \( x \leq 0 \) или \( x \geq 4 \), потому что произведение неотрицательно, когда переменные имеют одинаковый знак. - В знаменателе \( x + 8 \neq 0 \Rightarrow x \neq -8 \). - Объединение ограничений: \[ x \leq 0 \quad \text{или} \quad x \geq 4, \quad \text{при этом} \quad x \neq -8 \] - Разделим на два интервала: - Для \( x \leq 0 \), исключая точку \( x = -8 \): \[ (-\infty, -8) \cup (-8, 0] \] - Для \( x \geq 4 \): \[ [4, +\infty) \] **Область определения:** \[ \boxed{(-\infty, -8) \cup (-8, 0] \cup [4, +\infty)} \] --- ### 3)  \( y = \sqrt{15x - 3x^2} + \sqrt{x - 4} \) **Анализ:** - Первая часть: \( 15x - 3x^2 \geq 0 \) - Вынесем общий множитель: \( 3x(5 - x) \geq 0 \) - Решим неравенство: \[ 3x(5 - x) \geq 0 \] - Знаки: - \( x \geq 0 \) и \( 5 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 5 \) - Иначе \( x \leq 0 \) или \( x \geq 5 \) — выражение будет >= 0 для: \[ x \in [0, 5] \] - Вторая часть: \( x - 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq 4 \) - Таким образом, для обеих radикалов: - Одновременно \( x \in [0,5] \) и \( x \geq 4 \): \[ x \in [4,5] \] — в этом диапазоне обе корень существуют. **Область определения:** \[ \boxed{[4, 5]} \] --- ## Итоги: - Для функции 1: **\( (5, +\infty) \)** - Для функции 2: **\( (-\infty, -8) \cup (-8, 0] \cup [4, +\infty) \)** - Для функции 3: **\( [4, 5] \)** Если нужно подробнее объяснить любой из пунктов — скажи!