Иван хочет разбить все натуральные числа от 1 до 50 на пары каким-нибудь образом. Он придумал несколько способов. Выберите все варианты, в которых числа действительно разбиваются на пары. каждое число k находится в паре с числом 50−k каждое число k находится в паре с числом 51−k каждое число k от 1 до 25 находится в паре с числом 26−k , а каждое число n от 26 до 50 находится в паре с числом 76−n каждое число k от 1 до 25 находится в паре с числом k+25 каждое чётное число k находится в паре с числом k−1 каждое нечётное число k находится в паре с числом k−1

Рассмотрим каждое предложение и проверим, действительно ли числа от 1 до 50 разбиваются на пары по предложенному способу. --- **1. каждое число k находится в паре с числом 50−k** - Для каждого k от 1 до 50 существует число 50−k. - Проверим случаи: - k=1: пара — 50−1=49 - k=2: пара — 48 - ... - k=25: пара — 25 - k=26: пара — 24 - ... - k=50: пара — 0 (не входит в диапазон 1–50) - Однако, каждое число только один раз, и мы можем разбить множество из 1–50 на такие пары: - (1,49), (2,48), (3,47), ..., (24,26), (25,25), (26,24), ... , (50,0) - Так как число 0 не входит в диапазон, последние пары после 25–25 не подходят. - В случае, когда k=25, пара — тоже 25, то есть число само с собой — пара из одного числа, а не из двух, что противоречит условию разбития на пары. - **Вывод:** Вариант неверен, потому что число 25 попадает в пару само с собой, что невозможно в разборе на пары. --- **2. каждое число k находится в паре с числом 51−k** - Аналогично, для k=1: пара — 50, для k=2: 49, для k=25: 26, для k=50: 1. - Проверим границы: - k=1 → 50 - k=2 → 49 - ... - k=25 → 26 - k=26 → 25 - ... - k=50 → 1 - Каждое число от 1 до 50 встречается ровно дважды при этом разбиении с противоположным k. - В итоге, все числа разбиваются на пары вида (k, 51−k), и у каждого числа есть ровно одна пара. - **Вывод:** Этот способ подходит, и числа действительно разбиваются на пары. --- **3. каждое число k от 1 до 25 находится в паре с числом 26−k, а каждое число n от 26 до 50 — в паре с числом 76−n** - Проверим: - для 1≤k≤25: пара — 26−k - для 26≤n≤50: пара — 76−n - Проверим границы: - k=1: пара — 25 - k=25: пара — 1 - n=26: пара — 76−26=50 - n=50: пара — 76−50=26 - Все числа от 1 до 25 и от 26 до 50 включены: - 1 через 25, 2 через 24, ..., 25 через 1 - 26 через 50, 27 через 49, ..., 50 через 26 - У каждого числа есть ровно одна пара, все числа покрыты. - **Вывод:** Этот способ тоже верен. --- **4. каждое число k от 1 до 25 находится в паре с числом k+25** - Проверим: - k=1 → 26 - k=2 → 27 - ... - k=25 → 50 - Тогда получаются пары: - (1,26), (2,27), (3,28), ..., (25,50) - Каждое число входит ровно в одну пару, и все числа от 1 до 50 покрыты. - **Вывод:** Этот способ также верен. --- **5. каждое чётное число k находится в паре с числом k−1** - Например: - 2 — в паре с 1 - 4 — в паре с 3 - 6 — в паре с 5 - ... - 50 — в паре с 49 - Все чётные числа (2,4,6,...,50) имеют по одной паре, и их партнёры — нечётные числа, которые ещё не были никем связаны. - Но обратите внимание, что не все нечётные числа зафиксированы, и в итоге: - числа 1,3,5,...,49 — должны быть в парах с 2,4,6,...,50, и так далее. - Проверим, все ли числа покрыты таким образом: - 1: в паре с 2 - 2: с 1 - 3: с 4 - 4: с 3 - ... - 49: с 50 - 50: с 49 - Все числа 1–50 разбиваются на пары, так как каждый чётный — с нечётным, соседним меньшим числом. - **Вывод:** этот способ действительно создает полное покрытие. --- **6. каждое нечётное число k находится в паре с числом k−1** - Аналогично предыдущему: - 3 — с 2 - 5 — с 4 - 7 — с 6 - ... - 49 — с 48 - Но здесь: - нечётные числа (3,5,7,...,49) связаны с числами, меньшими на 1, которые чётные. - В итоге: - числа 2,4,6,...,50 не связаны как нечётные (они не в парах с нечётными), а лишь как с соседним меньшим нечётным. - Пары: - (2,3), (4,5), (6,7), ..., (48,49) - Но числа 1 и 50 остались не в паре, так как 1 нечётное, а для него нечётная пара — 0, которая не входит в диапазон. - Таким образом, не все числа разбиты на пары — не включены числа 1 и 50. - **Вывод:** Такой способ не покрывает все числа полностью. --- ## Итог: Верные способы, при которых все числа разбиваются на пары: - **2.** каждое число k находится в паре с числом 51−k - **3.** каждое число k от 1 до 25 в паре с 26−k, а числа n от 26 до 50 — с 76−n - **4.** каждое число k от 1 до 25 в паре с k+25 - **5.** каждое чётное число k в паре с k−1 --- **Ответ:** **Верные варианты — это пункты 2, 3, 4 и 5.**