Иван хочет разбить все натуральные числа от 1 до 50 на пары каким-нибудь образом. Он придумал несколько способов. Выберите все варианты, в которых числа действительно разбиваются…

Рассмотрим каждое предложение и проверим, действительно ли числа от 1 до 50 разбиваются на пары по предложенному способу.

1. каждое число k находится в паре с числом 50−k

• Для каждого k от 1 до 50 существует число 50−k.

• Проверим случаи:

  • k=1: пара — 50−1=49
  • k=2: пара — 48
  • ...
  • k=25: пара — 25
  • k=26: пара — 24
  • ...
  • k=50: пара — 0 (не входит в диапазон 1–50)

• Однако, каждое число только один раз, и мы можем разбить множество из 1–50 на такие пары:

  • (1,49), (2,48), (3,47), ..., (24,26), (25,25), (26,24), ... , (50,0)

• Так как число 0 не входит в диапазон, последние пары после 25–25 не подходят.

• В случае, когда k=25, пара — тоже 25, то есть число само с собой — пара из одного числа, а не из двух, что противоречит условию разбития на пары.

• Вывод: Вариант неверен, потому что число 25 попадает в пару само с собой, что невозможно в разборе на пары.

2. каждое число k находится в паре с числом 51−k

• Аналогично, для k=1: пара — 50, для k=2: 49, для k=25: 26, для k=50: 1.
• Проверим границы:
  • k=1 → 50
  • k=2 → 49
  • ...
  • k=25 → 26
  • k=26 → 25
  • ...
  • k=50 → 1
• Каждое число от 1 до 50 встречается ровно дважды при этом разбиении с противоположным k.
• В итоге, все числа разбиваются на пары вида (k, 51−k), и у каждого числа есть ровно одна пара.
• Вывод: Этот способ подходит, и числа действительно разбиваются на пары.

3. каждое число k от 1 до 25 находится в паре с числом 26−k, а каждое число n от 26 до 50 — в паре с числом 76−n

• Проверим:

  • для 1≤k≤25: пара — 26−k
  • для 26≤n≤50: пара — 76−n

• Проверим границы:

  • k=1: пара — 25
  • k=25: пара — 1
  • n=26: пара — 76−26=50
  • n=50: пара — 76−50=26

• Все числа от 1 до 25 и от 26 до 50 включены:

  • 1 через 25, 2 через 24, ..., 25 через 1
  • 26 через 50, 27 через 49, ..., 50 через 26

• У каждого числа есть ровно одна пара, все числа покрыты.

• Вывод: Этот способ тоже верен.

4. каждое число k от 1 до 25 находится в паре с числом k+25

• Проверим:

  • k=1 → 26
  • k=2 → 27
  • ...
  • k=25 → 50

• Тогда получаются пары:

  • (1,26), (2,27), (3,28), ..., (25,50)

• Каждое число входит ровно в одну пару, и все числа от 1 до 50 покрыты.

• Вывод: Этот способ также верен.

5. каждое чётное число k находится в паре с числом k−1

• Например:

  • 2 — в паре с 1
  • 4 — в паре с 3
  • 6 — в паре с 5
  • ...
  • 50 — в паре с 49

• Все чётные числа (2,4,6,...,50) имеют по одной паре, и их партнёры — нечётные числа, которые ещё не были никем связаны.

• Но обратите внимание, что не все нечётные числа зафиксированы, и в итоге:

  • числа 1,3,5,...,49 — должны быть в парах с 2,4,6,...,50, и так далее.

• Проверим, все ли числа покрыты таким образом:

  • 1: в паре с 2
  • 2: с 1
  • 3: с 4
  • 4: с 3
  • ...
  • 49: с 50
  • 50: с 49

• Все числа 1–50 разбиваются на пары, так как каждый чётный — с нечётным, соседним меньшим числом.

• Вывод: этот способ действительно создает полное покрытие.

6. каждое нечётное число k находится в паре с числом k−1

• Аналогично предыдущему:

  • 3 — с 2
  • 5 — с 4
  • 7 — с 6
  • ...
  • 49 — с 48

• Но здесь:

  • нечётные числа (3,5,7,...,49) связаны с числами, меньшими на 1, которые чётные.

• В итоге:

  • числа 2,4,6,...,50 не связаны как нечётные (они не в парах с нечётными), а лишь как с соседним меньшим нечётным.

• Пары:

  • (2,3), (4,5), (6,7), ..., (48,49)

• Но числа 1 и 50 остались не в паре, так как 1 нечётное, а для него нечётная пара — 0, которая не входит в диапазон.

• Таким образом, не все числа разбиты на пары — не включены числа 1 и 50.

• Вывод: Такой способ не покрывает все числа полностью.

Итог:

Верные способы, при которых все числа разбиваются на пары:

• 2. каждое число k находится в паре с числом 51−k
• 3. каждое число k от 1 до 25 в паре с 26−k, а числа n от 26 до 50 — с 76−n
• 4. каждое число k от 1 до 25 в паре с k+25
• 5. каждое чётное число k в паре с k−1

Ответ:
Верные варианты — это пункты 2, 3, 4 и 5.