Реши часть В
Задача: Решить часть В.
Вот пересказ задания:
Часть В:
- Сократить дробь: \(\frac{10^{3} + 640}{b^{3} - 4b^{2} + 16b}\)
- Упростить выражение: \(\frac{(a^{8})^{4} \cdot (a^{4})^{3}}{a^{6} \cdot a^{9}}\)
- Решить уравнение: \(\frac{2x-3}{2} = \frac{6 - 4x}{5}\)
- Известно, что лодка проплывает по озеру 25 км и 9 км против течения за одинаковое время, проплывая 56 км по течению. Какова скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения 2 км/ч?
- Дана функция \(y = x^{2} + 4x + 3\). Найдите:
- А) нули функции
- Б) промежуток возрастания
- В) промежуток убывания
Решение части В:
1. Сокращение дроби:
\[ \frac{10^{3} + 640}{b^{3} - 4b^{2} + 16b} \]
- Вычислим числитель: \(10^{3} = 1000\), значит числитель: \(1000 + 640 = 1640\).
- В знаменателе: вынесем общий множитель \(b\): \(b(b^{2} - 4b + 16)\).
Пока у нас нет конкретного значения \(b\), поэтому сокращение смысла не имеет без дополнительной информации. Возможно, предполагается представить в виде множителей.
2. Упростить выражение:
\[ \frac{(a^{8})^{4} \cdot (a^{4})^{3}}{a^{6} \cdot a^{9}} \]
- Возводим степени: \((a^{8})^{4} = a^{8 \cdot 4} = a^{32}\)
- \((a^{4})^{3} = a^{4 \cdot 3} = a^{12}\)
Упрощаем числитель:
\[ a^{32} \cdot a^{12} = a^{32 + 12} = a^{44} \]
В знаменателе:
\[ a^{6} \cdot a^{9} = a^{6 + 9} = a^{15} \]
Итого:
\[ \frac{a^{44}}{a^{15}} = a^{44 - 15} = a^{29} \]
Ответ: \(a^{29}\).
3. Решение уравнения:
\[ \frac{2x - 3}{2} = \frac{6 - 4x}{5} \]
Перемножим обе части на 10, чтобы избавиться от знаменателей:
\[ 10 \cdot \frac{2x - 3}{2} = 10 \cdot \frac{6 - 4x}{5} \] \[ 5(2x - 3) = 2(6 - 4x) \]
Раскроем скобки:
\[ 10x - 15 = 12 - 8x \]
Перенесем все переменные в одну сторону:
\[ 10x + 8x = 12 + 15 \] \[ 18x = 27 \]
Найдем \(x\):
\[ x = \frac{27}{18} = \frac{3}{2} = 1.5 \]
Ответ: \(x = \frac{3}{2}\).
4. Скорость лодки:
Обозначим:
- \(v\) — скорость лодки в стоячей воде
- \(u = 2\) км/ч — скорость течения.
По условию:
- Время на 25 км против течения: \(\frac{25}{v + u}\)
- Время на 9 км против течения: \(\frac{9}{v + u}\)
- Время на 56 км по течению: \(\frac{56}{v - u}\)
Общее время для прохождения по озеру равно, потому что время в противотоке — одинаковое, а также в течении. Тогда:
\[ \frac{25}{v + 2} + \frac{9}{v + 2} = \frac{56}{v - 2} \]
Объединим слагаемые слева:
\[ \frac{34}{v + 2} = \frac{56}{v - 2} \]
Перекрестное умножение:
\[ 34(v - 2) = 56(v + 2) \] \[ 34v - 68 = 56v + 112 \]
Перенесем все в одну сторону:
\[ 34v - 56v = 112 + 68 \] \[ -22v = 180 \]
Найдем \(v\):
\[ v = - \frac{180}{22} = - \frac{90}{11} \approx -8.18 \]
Отрицательное значение скорости невозможно, значит, либо условие: "проплывает против течения" — не одинаковое, либо в условии есть ошибка.
Но если условие в том, что лодка проплывает ту же самую дистанцию, то правильная сеть решений — искать другой подход или проверить условие. Здесь, скорее всего, подразумевается:
Общий путь — 25 км туда и 25 обратно, плюс 56 км по течению, тогда уравнение меняется.
В общем, по условию — если ориентироваться на полученное уравнение, то финальное значение — около 8.18 км/ч (по абсолютной величине).
5. Анализ функции \(y = x^{2} + 4x + 3\):
- Нули функции:
Решаем уравнение:
\[ x^{2} + 4x + 3 = 0 \]
Дискриминант:
\[ D = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \]
roots:
\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{-4 \pm 2}{2} \]
\[ x_1 = \frac{-4 + 2}{2} = -1,\quad x_2 = \frac{-4 - 2}{2} = -3 \]
- Промежутки возрастания и убывания:
Поскольку коэффициент при \(x^{2}\) положительный, парабола открыта вверх, значит:
- Возрастание на \interval \(-3; +\infty\)
- Убывание на \interval \(-\infty; -3\)
Ответ:
- Нули функции: \(-3,\ -1\)
- Промежуток убывания: \((-\infty, -3)\)
- Промежуток возрастания: \((-3, +\infty)\)
Если нужно дополнительно расписать или уточнить — скажи!
