Давайте разберемся с задачей подробно.
Задача:
Во сколько раз уменьшится частота гармонических колебаний математического маятника, если его длину увеличить в 4 раза?
Шаг 1: Формула для частоты колебаний математического маятника
Частота гармонических колебаний маятника (f) определяется формулой:
[
f = \frac{1}{T}
]
где (T) — период колебаний.
Для математического маятника период (T) выражается через длину (L):
[
T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}
]
где:
- (L) — длина маятника,
- (g) — ускорение свободного падения.
Следовательно, частота:
[
f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{L}}
]
Шаг 2: Как изменяется частота при изменении длины
Обозначим:
- первоначальная длина: (L),
- новая длина: (L' = 4L).
Тогда новая частота:
[
f' = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{L'}}
= \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{4L}}
]
Преобразуем:
[
f' = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{4L}} = \frac{1}{2\pi} \frac{1}{2} \sqrt{\frac{g}{L}} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{L}}
]
Обозначим исходную частоту:
[
f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{L}}
]
Теперь выражение для новой частоты:
[
f' = \frac{1}{2}f
]
Ответ:
Частота колебаний уменьшится в 2 раза.
Если нужно более кратко:
При увеличении длины маятника в 4 раза, его частота уменьшится в 2 раза.
