В сосуде с водой находится в вертикальном положении металлический стержень, целиком погружённый в воду. Для его поднятия из воды используют динамометр, соединив его легкой нитью…

Рассмотрим задачу поэтапно. Нам даны начальные и конечные показания динамометра при подъёме металлического стержня, частично погруженного в воду. Требуется найти плотность материала стержня.

Обозначим:

• \( \rho_w \) — плотность воды (\( 1000\, \text{кг/м}^3 \))
• \( \rho_m \) — плотность материала стержня (что нужно найти)
• \( V \) — объём всего стержня
• \( l \) — длина всего стержня
• \( l_0 \) — длина погружённой части в начале подъёма
• \( l_{mid} \) — длина погружённой части, когда половина стержня над водой
• Вес стержня: \( G = m \cdot g \), где \( m = \rho_m \cdot V \).

Исходные данные

• Начальный показатель динамометра: \( T_{initial} = 5 \, \text{Н} \)
• В момент, когда над водой половина стержня: \( T_{mid} = 6 \, \text{Н} \)

Шаг 1: Анализ протекших сил

Во время подъёма стержня силы, действующие на него:

• Собственный вес \( G = \rho_m \cdot V \cdot g \).
• Архимедова сила \( F_A = \rho_w \cdot V_{погруженной} \cdot g \), где \( V_{погруженной} \) — объём погружённой части.

Показание динамометра — это сила, с которой динамометр держит стержень в подъёме: \[ T = G - F_A \]

Шаг 2: Выражение для начальной ситуации

Когда всё стержень полностью погружён, длина погружённой части — \( l \).

Показание: \[ T_{начало} = \rho_m V g - \rho_w V g \Rightarrow 5 = (\rho_m - \rho_w) V g \]

Когда половина стержня над водой — погружена только половина длины, т.е. \( l/2 \): \[ T_{среда} = \rho_m V g - \rho_w \left( \frac{V}{2} \right) g = 6\, \text{Н} \]

Шаг 3: Выражение через параметры

Объём: \[ V = A l \] где \( A \) — площадь поперечного сечения.

Масса стержня: \[ m = \rho_m V \]

Уравнения: \[ (1) \quad 5 = (\rho_m - \rho_w) V g \] \[ (2) \quad 6 = (\rho_m - \frac{1}{2} \rho_w) V g \]

Шаг 4: Решение системы уравнений

Вычитая из уравнений (2) уравнение (1): \[ 6 - 5 = \left[ (\rho_m - \frac{1}{2} \rho_w) - (\rho_m - \rho_w) \right] V g \] \[ 1 = \left( - \frac{1}{2} \rho_w + \rho_w \right) V g \] \[ 1 = \frac{1}{2} \rho_w V g \] \[ V g = \frac{2}{\rho_w} \]

Теперь подставим \( V g \) в уравнение (1): \[ 5 = (\rho_m - \rho_w) V g \] \[ 5 = (\rho_m - 1000) \times \frac{2}{\rho_w} \]

Так как \( \rho_w = 1000\, \text{кг/м}^3 \), то: \[ 5 = (\rho_m - 1000) \times \frac{2}{1000} = 0.002 (\rho_m - 1000) \] \[ \frac{5}{0.002} = \rho_m - 1000 \] \[ 2500 = \rho_m - 1000 \] \[ \rho_m = 3500\, \text{кг/м}^3 \]

Ответ:

Плотность материала стержня: \[ \boxed{3,5\, \text{г/см}^3} \]

Итог:

Плотность материала стержня равна 3,5 г/см³.