Рассмотрим задачу поэтапно. Нам даны начальные и конечные показания динамометра при подъёме металлического стержня, частично погруженного в воду. Требуется найти плотность материала стержня.
Обозначим:
- ( \rho_w ) — плотность воды (( 1000, \text{кг/м}^3 ))
- ( \rho_m ) — плотность материала стержня (что нужно найти)
- ( V ) — объём всего стержня
- ( l ) — длина всего стержня
- ( l_0 ) — длина погружённой части в начале подъёма
- ( l_{mid} ) — длина погружённой части, когда половина стержня над водой
- Вес стержня: ( G = m \cdot g ), где ( m = \rho_m \cdot V ).
Исходные данные
- Начальный показатель динамометра: ( T_{initial} = 5 , \text{Н} )
- В момент, когда над водой половина стержня: ( T_{mid} = 6 , \text{Н} )
Шаг 1: Анализ протекших сил
Во время подъёма стержня силы, действующие на него:
- Собственный вес ( G = \rho_m \cdot V \cdot g ).
- Архимедова сила ( F_A = \rho_w \cdot V_{погруженной} \cdot g ), где ( V_{погруженной} ) — объём погружённой части.
Показание динамометра — это сила, с которой динамометр держит стержень в подъёме:
[
T = G - F_A
]
Шаг 2: Выражение для начальной ситуации
Когда всё стержень полностью погружён, длина погружённой части — ( l ).
Показание:
[
T_{начало} = \rho_m V g - \rho_w V g \Rightarrow 5 = (\rho_m - \rho_w) V g
]
Когда половина стержня над водой — погружена только половина длины, т.е. ( l/2 ):
[
T_{среда} = \rho_m V g - \rho_w \left( \frac{V}{2} \right) g = 6, \text{Н}
]
Шаг 3: Выражение через параметры
Объём:
[
V = A l
]
где ( A ) — площадь поперечного сечения.
Масса стержня:
[
m = \rho_m V
]
Уравнения:
[
(1) \quad 5 = (\rho_m - \rho_w) V g
]
[
(2) \quad 6 = (\rho_m - \frac{1}{2} \rho_w) V g
]
Шаг 4: Решение системы уравнений
Вычитая из уравнений (2) уравнение (1):
[
6 - 5 = \left[ (\rho_m - \frac{1}{2} \rho_w) - (\rho_m - \rho_w) \right] V g
]
[
1 = \left( - \frac{1}{2} \rho_w + \rho_w \right) V g
]
[
1 = \frac{1}{2} \rho_w V g
]
[
V g = \frac{2}{\rho_w}
]
Теперь подставим ( V g ) в уравнение (1):
[
5 = (\rho_m - \rho_w) V g
]
[
5 = (\rho_m - 1000) \times \frac{2}{\rho_w}
]
Так как ( \rho_w = 1000, \text{кг/м}^3 ), то:
[
5 = (\rho_m - 1000) \times \frac{2}{1000} = 0.002 (\rho_m - 1000)
]
[
\frac{5}{0.002} = \rho_m - 1000
]
[
2500 = \rho_m - 1000
]
[
\rho_m = 3500, \text{кг/м}^3
]
Ответ:
Плотность материала стержня:
[
\boxed{3,5, \text{г/см}^3}
]
Итог:
Плотность материала стержня равна 3,5 г/см³.
