Давайте подробно решим уравнение:
[ 5x + 2|x| = 3x ]
Шаг 1: Разделить на случаи в зависимости от знака модуля (|x|)
- Если (x \geq 0), тогда (|x| = x).
- Если (x < 0), тогда (|x| = -x).
Рассмотрим оба случая отдельно.
Случай 1: (x \geq 0)
Подставляем (|x| = x):
[ 5x + 2x = 3x ]
Объединяем подобные члены:
[ (5x + 2x) = 3x ]
[ 7x = 3x ]
Переносим все в одну сторону:
[ 7x - 3x = 0 ]
[ 4x = 0 ]
Следовательно:
[ x = 0 ]
Проверяем условие: (x \geq 0).
Да, (x = 0) подходит, так как (0 \geq 0).
Случай 2: (x < 0)
Подставляем (|x| = -x):
[ 5x + 2(-x) = 3x ]
[ 5x - 2x = 3x ]
[ 3x = 3x ]
Это равенство верно для всех (x), при условии (x < 0).
Следовательно, любой отрицательный (x) является решением.
Проверяем условие: (x < 0).
Да, все (x < 0) решают исходное уравнение.
Ответ:
- Все отрицательные числа ((x < 0)) — решения уравнения.
- Также решением является (x = 0).
Общий ответ:
[
\boxed{
x \leq 0
}
]
