Решите уравнение 5x+2|x|=3x

Давайте подробно решим уравнение:
\[ 5x + 2|x| = 3x \]

Шаг 1: Разделить на случаи в зависимости от знака модуля \(|x|\)

• Если \(x \geq 0\), тогда \(|x| = x\).
• Если \(x < 0\), тогда \(|x| = -x\).

Рассмотрим оба случая отдельно.

Случай 1: \(x \geq 0\)

Подставляем \(|x| = x\):

\[ 5x + 2x = 3x \]

Объединяем подобные члены:

\[ (5x + 2x) = 3x \] \[ 7x = 3x \]

Переносим все в одну сторону:

\[ 7x - 3x = 0 \] \[ 4x = 0 \]

Следовательно:

\[ x = 0 \]

Проверяем условие: \(x \geq 0\).
Да, \(x = 0\) подходит, так как \(0 \geq 0\).

Случай 2: \(x < 0\)

Подставляем \(|x| = -x\):

\[ 5x + 2(-x) = 3x \] \[ 5x - 2x = 3x \] \[ 3x = 3x \]

Это равенство верно для всех \(x\), при условии \(x < 0\).

Следовательно, любой отрицательный \(x\) является решением.

Проверяем условие: \(x < 0\).
Да, все \(x < 0\) решают исходное уравнение.

Ответ:

• Все отрицательные числа (\(x < 0\)) — решения уравнения.
• Также решением является \(x = 0\).

Общий ответ:
\[ \boxed{ x \leq 0 } \]