(x+2)/(x−2a)+(x−a)/(x−1)=1 При каких a уравнение имеет одно решение

Давайте внимательно разберём задачу: \[ \frac{x+2}{x - 2a} + \frac{x - a}{x - 1} = 1 \] Нам нужно определить, при каких значениях параметра \(a\) это уравнение имеет ровно одно решение. --- ### Шаг 1: Определим область допустимых значений переменной \(x\) Область допустимых значений \(x\) — это все \(x\), при которых знаменатели не равны нулю: - \(x - 2a \neq 0 \Rightarrow x \neq 2a\) - \(x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1\) --- ### Шаг 2: Запишем исходное уравнение \[ \frac{x+2}{x - 2a} + \frac{x - a}{x - 1} = 1 \] Для решения упростим уравнение, приведя к общему знаменателю или избавившись от дробей. Лучше сразу перейти к общему знаменателю. Общий знаменатель: \((x - 2a)(x - 1)\) --- ### Шаг 3: Приведение к одностациональному уравнению Умножим обе части уравнения на \((x - 2a)(x - 1)\): \[ (x+2)(x - 1) + (x - a)(x - 2a) = (x - 2a)(x - 1) \] Раскроем скобки: \[ (x + 2)(x - 1) + (x - a)(x - 2a) = (x - 2a)(x - 1) \] --- ### Шаг 4: Раскроем каждое выражение 1. \((x + 2)(x - 1) = x^2 - x + 2x - 2 = x^2 + x - 2\) 2. \((x - a)(x - 2a) = x^2 - 2a x - a x + 2 a^2 = x^2 - (2a + a) x + 2 a^2 = x^2 - 3a x + 2 a^2\) 3. \((x - 2a)(x - 1) = x^2 - x - 2a x + 2 a = x^2 - (1 + 2a) x + 2 a\) Подставим обратно: \[ (x^2 + x - 2) + (x^2 - 3a x + 2 a^2) = x^2 - (1 + 2a) x + 2 a \] --- ### Шаг 5: Упростим уравнение Сложим левую сторону: \[ x^2 + x - 2 + x^2 - 3a x + 2 a^2 = x^2 - (1 + 2a) x + 2 a \] Левая сторона: \[ 2 x^2 + (x - 3a x) + ( - 2 + 2 a^2) = x^2 - (1 + 2a) x + 2 a \] Обобщим: \[ 2 x^2 + (1 - 3a) x + (2 a^2 - 2) = x^2 - (1 + 2a) x + 2 a \] Перенесем все влево: \[ 2 x^2 - x^2 + (1 - 3a) x + (2 a^2 - 2) - [ - (1 + 2a) x + 2 a ] = 0 \] Раскроем скобки и запишем всё по порядку: \[ (2 x^2 - x^2) + (1 - 3a) x + (2 a^2 - 2) + (1 + 2a) x - 2 a = 0 \] Объединим одинаковые слагаемые: - \(2 x^2 - x^2 = x^2\) - \( (1 - 3a) x + (1 + 2a) x = [ (1 - 3a) + (1 + 2a) ] x = (2 - a) x \) - \( (2 a^2 - 2) - 2 a = 2 a^2 - 2 - 2 a \) Итак, получаем квадратичное уравнение: \[ x^2 + (2 - a) x + (2 a^2 - 2 - 2 a) = 0 \] --- ### Шаг 6: Анализ уравнения на количество решений Это стандартное квадратичное уравнение по \(x\): \[ x^2 + (2 - a) x + (2 a^2 - 2 - 2 a) = 0 \] Количество решений зависит от дискриминанта: \[ D = (2 - a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 a^2 - 2 - 2 a) \] Рассчитаем дискриминант: \[ D = (2 - a)^2 - 4 (2 a^2 - 2 - 2 a) \] Развернем: \[ D = (2 - a)^2 - 4 \cdot 2 a^2 + 4 \cdot 2 + 4 \cdot 2 a \] \[ D = (2 - a)^2 - 8 a^2 + 8 + 8 a \] Раскроем квадрат: \[ (2 - a)^2 = 4 - 4 a + a^2 \] Подставим: \[ D = 4 - 4 a + a^2 - 8 a^2 + 8 + 8 a \] Объединим подобные: \[ D = (a^2 - 8 a^2) + (-4 a + 8 a) + (4 + 8) \] \[ D = -7 a^2 + 4 a + 12 \] --- ### Шаг 7: Условие для ровно одного решения Уравнение имеет ровно одно решение, когда дискриминант равен нулю: \[ D = 0 \Rightarrow -7 a^2 + 4 a + 12 = 0 \] Это квадратное уравнение по \(a\): \[ 7 a^2 - 4 a - 12 = 0 \] Решим его по формуле: \[ a = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-12)}}{2 \cdot 7} \] Рассчитаем дискриминант по \(a\): \[ \Delta_a = 16 - 4 \cdot 7 \cdot (-12) = 16 + 336 = 352 \] \[ a = \frac{4 \pm \sqrt{352}}{14} \] Упростим \(\sqrt{352}\): \[ 352 = 16 \times 22 \Rightarrow \sqrt{352} = 4 \sqrt{22} \] Значит, \[ a = \frac{4 \pm 4 \sqrt{22}}{14} = \frac{4 (1 \pm \sqrt{22})}{14} = \frac{2 (1 \pm \sqrt{22})}{7} \] --- ### **Ответ:** Уравнение имеет ровно одно решение при **двух значениях \(a\)**: \[ \boxed{ a = \frac{2 (1 + \sqrt{22})}{7} \quad \text{или} \quad a = \frac{2 (1 - \sqrt{22})}{7} } \] --- Если есть необходимость, можем обсудить дополнительные условия, связанные с областью определения, чтобы исключить возможные совпадения с запрещенными значениями \(x\).