(x+2)/(x−2a)+(x−a)/(x−1)=1 При каких a уравнение имеет одно решение
Давайте внимательно разберём задачу:
\[
\frac{x+2}{x - 2a} + \frac{x - a}{x - 1} = 1
\]
Нам нужно определить, при каких значениях параметра \(a\) это уравнение имеет ровно одно решение.
Шаг 1: Определим область допустимых значений переменной \(x\)
Область допустимых значений \(x\) — это все \(x\), при которых знаменатели не равны нулю:
- \(x - 2a \neq 0 \Rightarrow x \neq 2a\)
- \(x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1\)
Шаг 2: Запишем исходное уравнение
\[ \frac{x+2}{x - 2a} + \frac{x - a}{x - 1} = 1 \]
Для решения упростим уравнение, приведя к общему знаменателю или избавившись от дробей. Лучше сразу перейти к общему знаменателю.
Общий знаменатель: \((x - 2a)(x - 1)\)
Шаг 3: Приведение к одностациональному уравнению
Умножим обе части уравнения на \((x - 2a)(x - 1)\):
\[ (x+2)(x - 1) + (x - a)(x - 2a) = (x - 2a)(x - 1) \]
Раскроем скобки:
\[ (x + 2)(x - 1) + (x - a)(x - 2a) = (x - 2a)(x - 1) \]
Шаг 4: Раскроем каждое выражение
- \((x + 2)(x - 1) = x^2 - x + 2x - 2 = x^2 + x - 2\)
- \((x - a)(x - 2a) = x^2 - 2a x - a x + 2 a^2 = x^2 - (2a + a) x + 2 a^2 = x^2 - 3a x + 2 a^2\)
- \((x - 2a)(x - 1) = x^2 - x - 2a x + 2 a = x^2 - (1 + 2a) x + 2 a\)
Подставим обратно:
\[ (x^2 + x - 2) + (x^2 - 3a x + 2 a^2) = x^2 - (1 + 2a) x + 2 a \]
Шаг 5: Упростим уравнение
Сложим левую сторону:
\[ x^2 + x - 2 + x^2 - 3a x + 2 a^2 = x^2 - (1 + 2a) x + 2 a \]
Левая сторона:
\[ 2 x^2 + (x - 3a x) + ( - 2 + 2 a^2) = x^2 - (1 + 2a) x + 2 a \]
Обобщим:
\[ 2 x^2 + (1 - 3a) x + (2 a^2 - 2) = x^2 - (1 + 2a) x + 2 a \]
Перенесем все влево:
\[ 2 x^2 - x^2 + (1 - 3a) x + (2 a^2 - 2) - [ - (1 + 2a) x + 2 a ] = 0 \]
Раскроем скобки и запишем всё по порядку:
\[ (2 x^2 - x^2) + (1 - 3a) x + (2 a^2 - 2) + (1 + 2a) x - 2 a = 0 \]
Объединим одинаковые слагаемые:
- \(2 x^2 - x^2 = x^2\)
- \( (1 - 3a) x + (1 + 2a) x = [ (1 - 3a) + (1 + 2a) ] x = (2 - a) x \)
- \( (2 a^2 - 2) - 2 a = 2 a^2 - 2 - 2 a \)
Итак, получаем квадратичное уравнение:
\[ x^2 + (2 - a) x + (2 a^2 - 2 - 2 a) = 0 \]
Шаг 6: Анализ уравнения на количество решений
Это стандартное квадратичное уравнение по \(x\):
\[ x^2 + (2 - a) x + (2 a^2 - 2 - 2 a) = 0 \]
Количество решений зависит от дискриминанта:
\[ D = (2 - a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 a^2 - 2 - 2 a) \]
Рассчитаем дискриминант:
\[ D = (2 - a)^2 - 4 (2 a^2 - 2 - 2 a) \]
Развернем:
\[ D = (2 - a)^2 - 4 \cdot 2 a^2 + 4 \cdot 2 + 4 \cdot 2 a \]
\[ D = (2 - a)^2 - 8 a^2 + 8 + 8 a \]
Раскроем квадрат:
\[ (2 - a)^2 = 4 - 4 a + a^2 \]
Подставим:
\[ D = 4 - 4 a + a^2 - 8 a^2 + 8 + 8 a \]
Объединим подобные:
\[ D = (a^2 - 8 a^2) + (-4 a + 8 a) + (4 + 8) \] \[ D = -7 a^2 + 4 a + 12 \]
Шаг 7: Условие для ровно одного решения
Уравнение имеет ровно одно решение, когда дискриминант равен нулю:
\[ D = 0 \Rightarrow -7 a^2 + 4 a + 12 = 0 \]
Это квадратное уравнение по \(a\):
\[ 7 a^2 - 4 a - 12 = 0 \]
Решим его по формуле:
\[ a = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-12)}}{2 \cdot 7} \]
Рассчитаем дискриминант по \(a\):
\[ \Delta_a = 16 - 4 \cdot 7 \cdot (-12) = 16 + 336 = 352 \]
\[ a = \frac{4 \pm \sqrt{352}}{14} \]
Упростим \(\sqrt{352}\):
\[ 352 = 16 \times 22 \Rightarrow \sqrt{352} = 4 \sqrt{22} \]
Значит,
\[ a = \frac{4 \pm 4 \sqrt{22}}{14} = \frac{4 (1 \pm \sqrt{22})}{14} = \frac{2 (1 \pm \sqrt{22})}{7} \]
Ответ:
Уравнение имеет ровно одно решение при двух значениях \(a\):
\[ \boxed{ a = \frac{2 (1 + \sqrt{22})}{7} \quad \text{или} \quad a = \frac{2 (1 - \sqrt{22})}{7} } \]
Если есть необходимость, можем обсудить дополнительные условия, связанные с областью определения, чтобы исключить возможные совпадения с запрещенными значениями \(x\).
