Давайте решим задачу по шагам.
Дано:
- Вероятность успеха в одном испытании: ( p = 0,46 )
- Общее число испытаний: ( n = 7 )
- Требуется найти вероятность ровно 3 успехов: ( k = 3 )
Это задача на биномиальное распределение, которое описывается формулой:
[
P(X = k) = C(n, k) \times p^k \times (1 - p)^{n - k}
]
где:
- ( C(n, k) ) — число сочетаний ("число способов выбрать ( k ) успехов из ( n ) испытаний") и вычисляется по формуле:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k! \times (n - k)!}
]
Шаг 1: Вычисление ( C(7, 3) )
[
C(7, 3) = \frac{7!}{3! \times 4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = \frac{210}{6} = 35
]
Шаг 2: Вычисление ( p^k ) и ( (1 - p)^{n - k} )
[
p^k = 0,46^3
]
[
(1 - p)^{4} = (0,54)^4
]
Посчитаем эти значения:
[
0,46^3 = 0,46 \times 0,46 \times 0,46 \approx 0,097
]
[
0,54^4 = 0,54 \times 0,54 \times 0,54 \times 0,54 \approx 0,085
]
(точное значение лучше взять с помощью калькулятора)
Шаг 3: Полное вычисление вероятности
[
P(X=3) = 35 \times 0,097 \times 0,085
]
Вычислим:
[
0,097 \times 0,085 \approx 0,008245
]
Теперь умножим на 35:
[
35 \times 0,008245 \approx 0,2886
]
Ответ:
Вероятность ровно 3 успехов в серии из 7 испытаний при успехе в каждом ( p=0,46 ):
[
\boxed{0,289}
]
(округлено до тысячных).
