Вероятность успеха равна 0,46, количество испытаний равно 7. Определи вероятность 3 успехов в данной серии бинарных испытаний. (Ответ округли до тысячных.)
Давайте решим задачу по шагам.
Дано:
- Вероятность успеха в одном испытании: \( p = 0,46 \)
- Общее число испытаний: \( n = 7 \)
- Требуется найти вероятность ровно 3 успехов: \( k = 3 \)
Это задача на биномиальное распределение, которое описывается формулой:
\[ P(X = k) = C(n, k) \times p^k \times (1 - p)^{n - k} \]
где:
- \( C(n, k) \) — число сочетаний ("число способов выбрать \( k \) успехов из \( n \) испытаний") и вычисляется по формуле:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k! \times (n - k)!} \]
Шаг 1: Вычисление \( C(7, 3) \)
\[ C(7, 3) = \frac{7!}{3! \times 4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = \frac{210}{6} = 35 \]
Шаг 2: Вычисление \( p^k \) и \( (1 - p)^{n - k} \)
\[ p^k = 0,46^3 \] \[ (1 - p)^{4} = (0,54)^4 \]
Посчитаем эти значения:
\[ 0,46^3 = 0,46 \times 0,46 \times 0,46 \approx 0,097 \] \[ 0,54^4 = 0,54 \times 0,54 \times 0,54 \times 0,54 \approx 0,085 \]
(точное значение лучше взять с помощью калькулятора)
Шаг 3: Полное вычисление вероятности
\[ P(X=3) = 35 \times 0,097 \times 0,085 \]
Вычислим:
\[ 0,097 \times 0,085 \approx 0,008245 \]
Теперь умножим на 35:
\[ 35 \times 0,008245 \approx 0,2886 \]
Ответ:
Вероятность ровно 3 успехов в серии из 7 испытаний при успехе в каждом \( p=0,46 \):
\[ \boxed{0,289} \]
(округлено до тысячных).
