Рассмотрим задачу последовательно.
Дано:
- Диаметр медного провода внутри квартиры: ( d_{м} )
- Диаметр алюминиевого провода в остальном доме: ( d_{а} )
Из условия:
[ d_{м} = 1.79 \times d_{а} ]
Плотности:
[ \rho_{м} = 8900, \text{кг/м}^3 ]
[ \rho_{а} = 2700, \text{кг/м}^3 ]
Молярная масса:
[ M_{м} = 64, \text{г/моль} = 0.064, \text{кг/моль} ]
[ M_{а} = 27, \text{г/моль} = 0.027, \text{кг/моль} ]
Количество электронов на атом:
- В меди: 1 электрон/атом
- В алюминии: 3 электрона/атом
Шаг 1. Рассчитаем скорость электронов
Скорость дрейфа электрона в металле связана с электрической проводимостью. В общем виде, скорость электрона при постоянном токе пропорциональна:
[
v \propto \frac{I}{n \times A}
]
где:
- ( I ) — ток (для сравнения, возьмём одинаковый ток),
- ( n ) — концентрация свободных электронов в металле,
- ( A ) — площадь поперечного сечения провода.
Концентрация электронов ( n ) связана с плотностью атомов ( N ) и количеством электронов на атом ( Z ):
[
n = Z \times N
]
а число атомов на единицу объема:
[
N = \frac{\rho}{M} \times N_A
]
где ( N_A ) — число Авогадро, ( N_A \approx 6.022 \times 10^{23}, \text{моль}^{-1} ).
Сравним скорости через отношение:
[
\frac{v_{в внутри квартиры}}{v_{в в доме}} = \frac{ \frac{1}{n_{м} \times A_{м}} }{ \frac{1}{n_{а} \times A_{а}} } = \frac{n_{а} \times A_{а}}{n_{м} \times A_{м}}
]
Так как ток одинаков, то:
[
v \propto \frac{1}{n \times A}
]
Шаг 2. Найдём отношение площадей
Площадь поперечного сечения:
[
A \propto d^2
]
Следовательно:
[
\frac{A_{м}}{A_{а}} = \left(\frac{d_{м}}{d_{а}}\right)^2 = (1.79)^2 \approx 3.2041
]
Шаг 3. Найдём соотношение концентраций электронов
Количество электронов на атом:
[
Z_{м} = 1 \quad \text{(медь)}, \qquad Z_{а} = 3 \quad \text{(алюминий)}
]
Число атомов на единицу объёма:
[
N = \frac{\rho}{M} N_A
]
Значит:
[
n = Z \times N = Z \times \frac{\rho}{M} N_A
]
Отношение концентраций:
[
\frac{n_{а}}{n_{м}} = \frac{Z_{а} \times \frac{\rho_{а}}{M_{а}}}{Z_{м} \times \frac{\rho_{м}}{M_{м}}} = \frac{3 \times \frac{2700}{0.027}}{1 \times \frac{8900}{0.064}}
]
Посчитаем числитель и знаменатель:
[
\frac{2700}{0.027} = 100000
]
[
\frac{8900}{0.064} \approx 139062.5
]
Теперь:
[
\frac{n_{а}}{n_{м}} = \frac{3 \times 100000}{139062.5} \approx \frac{300000}{139062.5} \approx 2.16
]
Шаг 4. Общее отношение скоростей
Общий фактор:
[
\frac{v_{м}}{v_{а}} = \frac{n_{а} \times A_{а}}{n_{м} \times A_{м}} = \frac{1}{\frac{n_{м}}{n_{а}}} \times \frac{A_{а}}{A_{м}} = \frac{1}{2.16} \times \frac{1}{3.2041} \approx \frac{1}{6.917}
]
[
\frac{v_{м}}{v_{а}} \approx 0.144
]
Или, в виде отношения:
[
\frac{v_{а}}{v_{м}} \approx \frac{1}{0.144} \approx 6.94
]
Ответ: Электроны внутри квартиры движутся примерно в 6.94 раза быстрее, чем во всём остальном доме.
Итог:
Ответ: 6.94 (округлено до сотых).
