Дискретная случайная величина Х распределена по геометрическому закону с показателем р = 0,6. Найдите ЕX2 . В ответе запишите сумму числителя и знаменателя несократимой…

Дано: дискретная случайная величина \(X\) распределена по геометрическому закону с параметром \(p = 0,6\). Нужно найти математическое ожидание \(E[X^2]\).

---

Шаг 1: Напоминание о распределении и свойстве геометрического закона

• Геометрическое распределение задаётся как вероятность того, что первый успех случится на попытке № \(k\):

\[ P(X = k) = (1 - p)^{k-1} p, \quad k = 1, 2, 3, \dots \]

• Математическое ожидание \(E[X]\):

\[ E[X] = \frac{1}{p} \]

• Для вычисления \(E[X^2]\), можно воспользоваться формулой:

\[ E[X^2] = Var(X) + [E[X]]^2 \]

где \(Var(X)\) — дисперсия.

---

Шаг 2: Формулы для дисперсии \(Var(X)\) и \(E[X]\) для геометрического распределения

• Дисперсия:

\[ Var(X) = \frac{1 - p}{p^2} \]

• Следовательно,

\[ E[X] = \frac{1}{p} \]

\[ E[X^2] = Var(X) + [E[X]]^2 = \frac{1 - p}{p^2} + \left(\frac{1}{p}\right)^2 \]

---

Шаг 3: Подставим значения и вычислим \(E[X^2]\)

Для \(p = 0,6\):

\[ E[X^2] = \frac{1 - 0,6}{(0,6)^2} + \frac{1}{(0,6)^2} \]

\[ E[X^2] = \frac{0,4}{0,36} + \frac{1}{0,36} \]

Преобразуем каждое слагаемое:

\[ \frac{0,4}{0,36} = \frac{0,4}{0,36} \]

Чтобы избавиться от десятичных дробей, переведём в дроби:

\[ 0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \] \[ 0,36 = \frac{36}{100} = \frac{9}{25} \]

Теперь:

\[ \frac{0,4}{0,36} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{9}{25}} = \frac{2}{5} \times \frac{25}{9} = \frac{2 \times 25}{5 \times 9} = \frac{50}{45} = \frac{10}{9} \]

Аналогично для второго слагаема:

\[ \frac{1}{0,36} = \frac{1}{\frac{9}{25}}= \frac{25}{9} \]

Итак,

\[ E[X^2] = \frac{10}{9} + \frac{25}{9} = \frac{10 + 25}{9} = \frac{35}{9} \]

---

Шаг 4: Итог

Найдённое значение \(E[X^2]\) — это несократимая дробь:

\[ E[X^2] = \frac{35}{9} \]

Задача просит сумму числителя и знаменателя:

\[ 35 + 9 = \boxed{44} \]

---

Ответ:

44