Около прямоугольного треугольника описана окружность радиуса 5 см. Найти периметр и площадь этого треугольника, если его катеты относятся, как 6:8.
Давайте подробно разберем задачу и пошагово решим её.
Дано:
- Окружность, описанная около прямоугольного треугольника, радиус = R = 5 см.
- В треугольнике катеты относятся как 6:8.
Найти:
- Периметр треугольника (сумма всех сторон).
- Площадь треугольника.
Шаг 1: Обозначения и основные сведения
Обозначим катеты треугольника:
\[
a = 6k, \quad b = 8k,
\]
где \(k\) — общий коэффициент.
Пусть гипотенуза — \(c\).
Поскольку треугольник прямой, по теореме Пифагора:
\[
c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(6k)^2 + (8k)^2} = \sqrt{36k^2 + 64k^2} = \sqrt{100k^2} = 10k.
\]
Шаг 2: Связь радиуса описанной окружности и сторон треугольника
Радиус описанной окружности для прямоугольного треугольника равен:
\[
R = \frac{c}{2}.
\]
Это важное свойство: радиус описанной окружности у прямого треугольника равен половине гипотенузы.
Где, по условию, \(R = 5\) см, следовательно:
\[
\frac{c}{2} = 5 \Rightarrow c = 10.
\]
Но из предыдущего вывода, мы нашли:
\[
c = 10k.
\]
Отсюда:
\[
10k = 10 \Rightarrow k = 1.
\]
Шаг 3: Вычисление сторон треугольника
Подставляем \(k=1\):
\[ a = 6 \times 1 = 6 \text{ см}, \] \[ b = 8 \times 1 = 8 \text{ см}, \] \[ c = 10 \text{ см}. \]
Шаг 4: Находим периметр
\[ P = a + b + c = 6 + 8 + 10 = 24 \text{ см}. \]
Шаг 5: Находим площадь
Площадь прямоугольного треугольника равна:
\[
S = \frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = \frac{1}{2} \times 48 = 24 \text{ см}^2.
\]
Итог:
- Периметр треугольника: 24 см.
- Площадь треугольника: 24 см².
Если есть ещё вопросы или нужна помощь — обращайтесь!
