Давайте подробно разберем задачу и пошагово решим её.
Дано:
- Окружность, описанная около прямоугольного треугольника, радиус = R = 5 см.
- В треугольнике катеты относятся как 6:8.
Найти:
- Периметр треугольника (сумма всех сторон).
- Площадь треугольника.
Шаг 1: Обозначения и основные сведения
Обозначим катеты треугольника:
[
a = 6k, \quad b = 8k,
]
где (k) — общий коэффициент.
Пусть гипотенуза — (c).
Поскольку треугольник прямой, по теореме Пифагора:
[
c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(6k)^2 + (8k)^2} = \sqrt{36k^2 + 64k^2} = \sqrt{100k^2} = 10k.
]
Шаг 2: Связь радиуса описанной окружности и сторон треугольника
Радиус описанной окружности для прямоугольного треугольника равен:
[
R = \frac{c}{2}.
]
Это важное свойство: радиус описанной окружности у прямого треугольника равен половине гипотенузы.
Где, по условию, (R = 5) см, следовательно:
[
\frac{c}{2} = 5 \Rightarrow c = 10.
]
Но из предыдущего вывода, мы нашли:
[
c = 10k.
]
Отсюда:
[
10k = 10 \Rightarrow k = 1.
]
Шаг 3: Вычисление сторон треугольника
Подставляем (k=1):
[
a = 6 \times 1 = 6 \text{ см},
]
[
b = 8 \times 1 = 8 \text{ см},
]
[
c = 10 \text{ см}.
]
Шаг 4: Находим периметр
[
P = a + b + c = 6 + 8 + 10 = 24 \text{ см}.
]
Шаг 5: Находим площадь
Площадь прямоугольного треугольника равна:
[
S = \frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = \frac{1}{2} \times 48 = 24 \text{ см}^2.
]
Итог:
- Периметр треугольника: 24 см.
- Площадь треугольника: 24 см².
Если есть ещё вопросы или нужна помощь — обращайтесь!
