Давайте разберём задачу поэтапно и найдём минимально возможную мощность алфавита.
Дано:
- Каждый серийный номер — из 197 символов.
- Для хранения одного номера отведено одинаковое минимальное число байт.
- Все символы кодируются одинаковым минимально возможным числом бит.
- Общее число номеров — 178 080.
- Объем памяти для хранения всех номеров — более 25 Мбайт.
Нам нужно найти минимальную мощность алфавита ( M ).
Шаг 1: Переведем известные данные в удобную форму
Мощность памяти (в байтах): более 25 Мбайт.
( 1,\text{Мбайт} = 1024^2 = 1,048,576,\text{байт} )
Тогда,
( 25,\text{Мбайт} = 25 \times 1,048,576 = 26,214,400,\text{байт} )
Память больше этого числа.
Шаг 2: Обозначим переменные
Пусть:
- ( n = 178,080 ) — число номеров,
- ( L = 197 ) — число символов в номере,
- ( b ) — число бит на один символ (минимально возможное),
- ( t ) — число байт на один номер.
Тогда, поскольку все символы кодируются одним и тем же минимально возможным числом бит, и все номера занимают одинаковое число байт, мы можем записать:
[
t = L \times b_{bytes}
]
Где ( b_{bytes} = \frac{b}{8} ).
Шаг 3: Общий объем памяти
Общий объем памяти для всех номеров:
[
\text{Общий объем} = n \times t \text{ байт}
]
Значит,
[
178,080 \times t > 26,214,400
]
или
[
t > \frac{26,214,400}{178,080} \approx 147.3 \text{ байт}
]
То есть, чтобы вместить все номера, потребуется более 147 байт.
Шаг 4: Определим минимально возможное количество бит ( b )
- Каждый символ занимает ( b ) бит.
- Следовательно, длина каждого номера в битах:
[
L \times b
]
- Для хранения в байтах: наименьшее целое число байт, необходимое для хранения ( L \times b ) бит:
[
t = \lceil \frac{L \times b}{8} \rceil
]
Из условия:
[
t > 147
]
Следовательно,
[
\lceil \frac{197 \times b}{8} \rceil > 147
]
Это неравенство для минимизации ( b ):
[
\frac{197 \times b}{8} \geq 147
]
или
[
197 \times b \geq 147 \times 8 = 1176
]
[
b \geq \frac{1176}{197} \approx 5.97
]
Значит,
[
b \geq 6 \text{ бит}
]
Шаг 5: Проверка для ( b = 6 )
- Объем памяти для одного номера:
[
t = \left\lceil \frac{197 \times 6}{8} \right\rceil = \left\lceil \frac{1182}{8} \right\rceil = \left\lceil 147.75 \right\rceil = 148, \text{байт}
]
Общий объем:
[
178,080 \times 148 \approx 26,348,160, \text{байт}
]
Это больше 25 Мбайт (26,214,400 байт), а значит, условие "более 25 Мбайт" выполнено.
Ответ:
Минимально возможная мощность алфавита — это количество различных символов, которое можно выразить числом бит. При ( b = 6 ):
[
M = 2^b = 2^6 = 64
]
ИТОГ:
[
\boxed{64}
]
