1) Цилиндр высотой 5 и радиусом основания 3. 2) Треугольная пирамида, в основании которой - правильный треугольник со стороной 1, высотой 6. 3) Конус с радиусом основания 1 и высотой 4. 4) Четверть шара радиусом 3. 5) Прямой параллелепипед высотой 3, в основании которого — ромб со стороной 2 и углом 60°. 6) Конус, осевое сечение которого представляет собой прямоуголь- ный равнобедренный треугольник с гипотенузой, равной 6 см. 1) Правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой равны 1. 8) Цилиндр, осевое сечение которого - квадрат со стороной 4.

Давайте разберем каждую задачу по порядку, подробно объясняя, как найти нужные объемы и площади. Предположим, что целью является понимание решений. --- ### 1) Цилиндр высотой 5 и радиусом основания 3 **Дано:** Высота \(h = 5\) Радиус основания \(r = 3\) **Задача:** Найти объем и площадь боковой поверхности цилиндра. **Решение:** - **Объем цилиндра:** Формула: \(V = \pi r^2 h\) Подставим значения: \[V = \pi \times 3^2 \times 5 = \pi \times 9 \times 5 = 45\pi\] **Ответ:** \(V = 45\pi\) - **Площадь боковой поверхности:** Формула: \(S_{бок} = 2 \pi r h\) Подставим значения: \[S_{бок} = 2 \pi \times 3 \times 5 = 30\pi\] **Ответ:** \(S_{бок} = 30\pi\) --- ### 2) Треугольная пирамида, основание которой — правильный треугольник со стороной 1, высотой 6 **Дано:** Сторона треугольника \(a = 1\) Высота пирамиды \(H = 6\) **Задача:** Найти объем пирамиды. **Решение:** - **Площадь основания (правильного треугольника):** Формула: \(\displaystyle S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2\) Подставим: \[S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 1^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}\] - **Объем пирамиды:** Формула: \(V = \frac{1}{3} S_{осн} \times H\) Подставим: \[V = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times 6 = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times 6\] Упростим: \[ V = \frac{6}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4} = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] **Ответ:** \(\boxed{\frac{\sqrt{3}}{2}}\) --- ### 3) Конус с радиусом основания 1 и высотой 4 **Дано:** Радиус \(r=1\) Высота \(h=4\) **Задача:** Найти объем и площадь поверхности. **Решение:** - **Объем:** Формула: \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\) Подставим: \[V = \frac{1}{3} \pi \times 1^2 \times 4 = \frac{4}{3} \pi\] - **Масса конуса (площадь полной поверхности):** Площадь основания: \(S_{осн}=\pi r^2 = \pi\) Рассчитаем боковую поверхность, для этого нужна образующая (\(l\)): \[ l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{1+16} = \sqrt{17} \] Боковая поверхность: \[ S_{бок} = \pi r l = \pi \times 1 \times \sqrt{17} = \pi \sqrt{17} \] Общая площадь поверхности: \[ S_{пов} = S_{осн} + S_{бок} = \pi + \pi \sqrt{17} = \pi(1 + \sqrt{17}) \] **Ответ:** Объем: \(\displaystyle \frac{4}{3} \pi \) Площадь поверхности: \(\displaystyle \pi(1 + \sqrt{17}) \) --- ### 4) Четверть шара радиусом 3 **Дано:** Радиус шара \(R=3\) **Задача:** Найти объем и площадь поверхности четверти шара. **Решение:** - **Объем шара:** \[ V_{шар} = \frac{4}{3} \pi R^3 \] Четверть шара: \[ V_{четверть} = \frac{1}{4} V_{шар} = \frac{1}{4} \times \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{\pi R^3}{3} \] Подставим \(R=3\): \[ V_{четверть} = \frac{\pi \times 27}{3} = 9 \pi \] - **Площадь поверхности:** Площадь всей поверхности сферы: \(S_{шар} = 4 \pi R^2\), поверхность четверти: \(\frac{1}{4}\) от поверхности сферы + боковая часть (круглая со стороны разреза). Поверхность: \[ S_{пов} = \frac{1}{4} \times 4 \pi R^2 + \text{боковая поверхность} \] Боковая поверхность — это часть сечения по поверхности сферы, она равна сектору круга радиуса \(R\). Общая площадь поверхности: \[ S_{пов} = \pi R^2 + \frac{\pi R^2}{2} = \frac{3}{2} \pi R^2 \] (Это посчитано как сумма площади боковой части и сектора). Подставим \(R=3\): \[ S_{пов} = \frac{3}{2} \pi \times 9 = \frac{27}{2} \pi = 13.5 \pi \] **Ответ:** Объем: \(9 \pi\) Площадь поверхности: \(13.5 \pi\) --- ### 5) Прямой параллелепипед высотой 3, в основании которого — ромб со стороной 2 и углом 60° **Дано:** Высота \(h=3\) Сторона ромба \(a=2\) Угол между сторонами \(\theta=60^\circ\) **Задача:** Найти объем и площадь основания. **Решение:** - **Площадь ромба:** Формула: \(S_{ромб} = a^2 \sin \theta\) \[ S_{осн} = 2^2 \times \sin 60^\circ = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \sqrt{3} \] - **Объем параллелепипеда:** \[ V = S_{осн} \times h = 2 \sqrt{3} \times 3 = 6 \sqrt{3} \] **Ответ:** Объем: \(\boxed{6 \sqrt{3}}\) Площадь основания: \(\boxed{2 \sqrt{3}}\) --- ### 6) Конус, осевое сечение которого — прямоугольный равнобедренный треугольник с гипотенузой 6 см **Дано:** Гипотенуза \(c=6\,cm\) **Задача:** Найти радиус основания и высоту конуса. **Решение:** - В равнобедренном прямоугольном треугольнике два катета равны (\(a\)), а гипотенуза — 6. Используем Пифагора: \[ a^2 + a^2 = c^2 \implies 2a^2=36 \implies a^2=18 \implies a= \sqrt{18} = 3 \sqrt{2} \] - Радиус основания \(r\) равен половине основания треугольника (если сечение — прямоугольный треугольник, то радиус равен это половине катета): Рассматриваем, что основание конуса — основание сечения, то есть радиус равен \(a/2\): \[ r = \frac{a}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \] - Высота \(h\) — это катет треугольника, равный \(a=3\sqrt{2}\). **Ответ:** Радиус основания: \(\displaystyle \frac{3 \sqrt{2}}{2}\) Высота конуса: \(3 \sqrt{2}\) --- ### 7) Правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой равны 1 **Дано:** Ребра равны 1 **Задача:** Найти объем и площадь основания. **Решение:** - Основание — квадрат со стороной 1. - Высота пирамиды: Поскольку все ребра равны, высота \(h\) равна \( \sqrt{2}/2 \). - **Объем:** Площадь основания \(S_{осн} = 1^2 = 1\) Объем: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{осн} \times h \] Но так как ребра все равны, высота будет líka \(\frac{\sqrt{6}}{3}\). Обязательно уточним эти параметры, так как обычно в подобных задачах нужно найти высоту. В общем, при равных ребрах и правильной пирамиде с рёбрами 1, высота равна: \[ h = \frac{\sqrt{6}}{3} \] Объем: \[ V = \frac{1}{3} \times 1 \times \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{\sqrt{6}}{9} \] Площадь боковых граней можно считать отдельно. --- ### 8) Цилиндр, осевое сечение которого — квадрат со стороной 4 **Дано:** Осевое сечение — квадрат со стороной 4 **Задача:** Найти объем и площадь поверхности. **Решение:** - Октавая высота — это диаметр основания (так как сечение — квадрат, по сути, боковая поверхность образует "квадратное" сечение). Если целиком — цилиндр, то радиус \(r=2\), высота \(h=4\). - **Объем:** \[ V= \pi r^2 h= \pi \times 2^2 \times 4= 4 \pi \times 4= 16 \pi \] - **Площадь поверхности:** Боковая поверхность: \(2 \pi r h= 2 \pi \times 2 \times 4=16 \pi\) Площадь основания: \(\pi r^2= 4\pi\) Общая площадь: \[ S= 16\pi + 2 \times 4\pi=16 \pi + 8 \pi=24 \pi \] --- Если есть дополнительные вопросы или нужна помощь по конкретному пункту — спрашивайте!