1) Цилиндр высотой 5 и радиусом основания 3. 2) Треугольная пирамида, в основании которой - правильный треугольник со стороной 1, высотой 6. 3) Конус с радиусом основания 1 и…

Давайте разберем каждую задачу по порядку, подробно объясняя, как найти нужные объемы и площади. Предположим, что целью является понимание решений.

---

1) Цилиндр высотой 5 и радиусом основания 3

Дано:
Высота \(h = 5\)
Радиус основания \(r = 3\)

Задача: Найти объем и площадь боковой поверхности цилиндра.

Решение:

• Объем цилиндра:
  Формула: \(V = \pi r^2 h\)

Подставим значения:
\[V = \pi \times 3^2 \times 5 = \pi \times 9 \times 5 = 45\pi\]

Ответ: \(V = 45\pi\)

• Площадь боковой поверхности:
  Формула: \(S_{бок} = 2 \pi r h\)

Подставим значения:
\[S_{бок} = 2 \pi \times 3 \times 5 = 30\pi\]

Ответ: \(S_{бок} = 30\pi\)

---

2) Треугольная пирамида, основание которой — правильный треугольник со стороной 1, высотой 6

Дано:
Сторона треугольника \(a = 1\)
Высота пирамиды \(H = 6\)

Задача: Найти объем пирамиды.

Решение:

• Площадь основания (правильного треугольника):
  Формула: \(\displaystyle S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2\)

Подставим:
\[S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 1^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}\]

• Объем пирамиды:
  Формула: \(V = \frac{1}{3} S_{осн} \times H\)

Подставим:
\[V = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times 6 = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times 6\]

Упростим:
\[ V = \frac{6}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4} = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Ответ: \(\boxed{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)

---

3) Конус с радиусом основания 1 и высотой 4

Дано:
Радиус \(r=1\)
Высота \(h=4\)

Задача: Найти объем и площадь поверхности.

Решение:

• Объем:
  Формула: \(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\)

Подставим:
\[V = \frac{1}{3} \pi \times 1^2 \times 4 = \frac{4}{3} \pi\]

• Масса конуса (площадь полной поверхности):
  Площадь основания: \(S_{осн}=\pi r^2 = \pi\)
  Рассчитаем боковую поверхность, для этого нужна образующая (\(l\)):

\[ l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{1+16} = \sqrt{17} \]

Боковая поверхность:
\[ S_{бок} = \pi r l = \pi \times 1 \times \sqrt{17} = \pi \sqrt{17} \]

Общая площадь поверхности:
\[ S_{пов} = S_{осн} + S_{бок} = \pi + \pi \sqrt{17} = \pi(1 + \sqrt{17}) \]

Ответ:
Объем: \(\displaystyle \frac{4}{3} \pi \)
Площадь поверхности: \(\displaystyle \pi(1 + \sqrt{17}) \)

---

4) Четверть шара радиусом 3

Дано:
Радиус шара \(R=3\)

Задача: Найти объем и площадь поверхности четверти шара.

Решение:

• Объем шара:
  \[ V_{шар} = \frac{4}{3} \pi R^3 \] Четверть шара:
  \[ V_{четверть} = \frac{1}{4} V_{шар} = \frac{1}{4} \times \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{\pi R^3}{3} \]

Подставим \(R=3\):
\[ V_{четверть} = \frac{\pi \times 27}{3} = 9 \pi \]

• Площадь поверхности:
  Площадь всей поверхности сферы: \(S_{шар} = 4 \pi R^2\),
  поверхность четверти: \(\frac{1}{4}\) от поверхности сферы + боковая часть (круглая со стороны разреза).

Поверхность:
\[ S_{пов} = \frac{1}{4} \times 4 \pi R^2 + \text{боковая поверхность} \]

Боковая поверхность — это часть сечения по поверхности сферы, она равна сектору круга радиуса \(R\).

Общая площадь поверхности:
\[ S_{пов} = \pi R^2 + \frac{\pi R^2}{2} = \frac{3}{2} \pi R^2 \]
(Это посчитано как сумма площади боковой части и сектора).

Подставим \(R=3\):

\[ S_{пов} = \frac{3}{2} \pi \times 9 = \frac{27}{2} \pi = 13.5 \pi \]

Ответ:
Объем: \(9 \pi\)
Площадь поверхности: \(13.5 \pi\)

---

5) Прямой параллелепипед высотой 3, в основании которого — ромб со стороной 2 и углом 60°

Дано:
Высота \(h=3\)
Сторона ромба \(a=2\)
Угол между сторонами \(\theta=60^\circ\)

Задача: Найти объем и площадь основания.

Решение:

• Площадь ромба:
  Формула: \(S_{ромб} = a^2 \sin \theta\)

\[ S_{осн} = 2^2 \times \sin 60^\circ = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \sqrt{3} \]

• Объем параллелепипеда:
  \[ V = S_{осн} \times h = 2 \sqrt{3} \times 3 = 6 \sqrt{3} \]

Ответ:
Объем: \(\boxed{6 \sqrt{3}}\)
Площадь основания: \(\boxed{2 \sqrt{3}}\)

---

6) Конус, осевое сечение которого — прямоугольный равнобедренный треугольник с гипотенузой 6 см

Дано:
Гипотенуза \(c=6\,cm\)

Задача: Найти радиус основания и высоту конуса.

Решение:

• В равнобедренном прямоугольном треугольнике два катета равны (\(a\)), а гипотенуза — 6.

Используем Пифагора:
\[ a^2 + a^2 = c^2 \implies 2a^2=36 \implies a^2=18 \implies a= \sqrt{18} = 3 \sqrt{2} \]

• Радиус основания \(r\) равен половине основания треугольника (если сечение — прямоугольный треугольник, то радиус равен это половине катета):

Рассматриваем, что основание конуса — основание сечения, то есть радиус равен \(a/2\):
\[ r = \frac{a}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \]

• Высота \(h\) — это катет треугольника, равный \(a=3\sqrt{2}\).

Ответ:
Радиус основания: \(\displaystyle \frac{3 \sqrt{2}}{2}\)
Высота конуса: \(3 \sqrt{2}\)

---

7) Правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой равны 1

Дано:
Ребра равны 1

Задача: Найти объем и площадь основания.

Решение:

• Основание — квадрат со стороной 1.

• Высота пирамиды:
  Поскольку все ребра равны, высота \(h\) равна \( \sqrt{2}/2 \).

• Объем:
  Площадь основания \(S_{осн} = 1^2 = 1\)

Объем:
\[ V = \frac{1}{3} \times S_{осн} \times h \]

Но так как ребра все равны, высота будет líka \(\frac{\sqrt{6}}{3}\).

Обязательно уточним эти параметры, так как обычно в подобных задачах нужно найти высоту. В общем, при равных ребрах и правильной пирамиде с рёбрами 1, высота равна:

\[ h = \frac{\sqrt{6}}{3} \]

Объем:
\[ V = \frac{1}{3} \times 1 \times \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{\sqrt{6}}{9} \]

Площадь боковых граней можно считать отдельно.

---

8) Цилиндр, осевое сечение которого — квадрат со стороной 4

Дано:
Осевое сечение — квадрат со стороной 4

Задача: Найти объем и площадь поверхности.

Решение:

• Октавая высота — это диаметр основания (так как сечение — квадрат, по сути, боковая поверхность образует "квадратное" сечение).

Если целиком — цилиндр, то радиус \(r=2\), высота \(h=4\).

• Объем:
  \[ V= \pi r^2 h= \pi \times 2^2 \times 4= 4 \pi \times 4= 16 \pi \]

• Площадь поверхности:
  Боковая поверхность: \(2 \pi r h= 2 \pi \times 2 \times 4=16 \pi\)
  Площадь основания: \(\pi r^2= 4\pi\)

Общая площадь:
\[ S= 16\pi + 2 \times 4\pi=16 \pi + 8 \pi=24 \pi \]

---

Если есть дополнительные вопросы или нужна помощь по конкретному пункту — спрашивайте!