В магазин привезли 25 ящиков с яблоками и виноградом. Масса каждого ящика с яблоками составляет 12 кг, а каждого ящика с виноградом - 8 кг. Определите, сколько ящиков с виноградом…
В магазин привезли 25 ящиков с яблоками и виноградом. Масса каждого ящика с яблоками составляет 12 кг, а каждого ящика с виноградом - 8 кг. Определите, сколько ящиков с виноградом могли привезти в магазин, если известно, что общая масса всех ящиков не менее 250 кг, но не более 270 кг. Найдите все возможные варианты.
Давайте разобьем задачу на шаги и подробно разберем каждое из них:
Дано:
- Общее количество ящиков: 25
- Ящики с яблоками: \( x \)
- Ящики с виноградом: \( y \)
Масса одного ящика:
- Яблоки: 12 кг
- Виноград: 8 кг
Условия:
- Всего ящиков: \( x + y = 25 \)
- Общая масса: \( 12x + 8y \)
- Масса не менее 250 кг и не более 270 кг: \[ 250 \leq 12x + 8y \leq 270 \]
Шаг 1: Выразим одну переменную через другую
Из первого уравнения: \[ x = 25 - y \]
Подставим это во второе неравенство:
\[ 250 \leq 12(25 - y) + 8y \leq 270 \]
Шаг 2: Раскроем скобки и упростим выражение
\[ 250 \leq 300 - 12y + 8y \leq 270 \]
Объединим подобные слагаемые:
\[ 250 \leq 300 - 4y \leq 270 \]
Шаг 3: Решим неравенства по \( y \)
Рассмотрим их по отдельности.
Первое неравенство:
\[ 250 \leq 300 - 4y \]
Вычитаем 300:
\[ 250 - 300 \leq -4y \Rightarrow -50 \leq -4y \]
Делим на -4 (при делении на отрицательное число знак неравенства меняется):
\[ \frac{-50}{-4} \geq y \Rightarrow 12.5 \geq y \]
То есть:
\[ y \leq 12.5 \]
Второе неравенство:
\[ 300 - 4y \leq 270 \]
Вычитаем 300:
\[ -4y \leq -30 \]
Делим на -4 (знак меняется):
\[ y \geq \frac{-30}{-4} \Rightarrow y \geq 7.5 \]
Шаг 4: Итоговые ограничения
Объединим оба результата:
\[ 7.5 \leq y \leq 12.5 \]
Поскольку \( y \) — целое число (нельзя привезти часть ящика), то возможные значения:
\[ y = 8, 9, 10, 11, 12 \]
Шаг 5: Проверка для каждого варианта
Для каждого \( y \), найдем \( x = 25 - y \), и убедимся, что масса в нужных пределах.
| \( y \) | \( x = 25 - y \) | Общая масса \( 12x + 8y \) | Проверка ограничения |
|---|---|---|---|
| 8 | 17 | \( 12 \times 17 + 8 \times 8 = 204 + 64 = 268 \) | 268 — в диапазоне 250–270 |
| 9 | 16 | \( 12 \times 16 + 8 \times 9 = 192 + 72 = 264 \) | 264 — в диапазоне 250–270 |
| 10 | 15 | \( 12 \times 15 + 8 \times 10 = 180 + 80 = 260 \) | 260 — в диапазоне 250–270 |
| 11 | 14 | \( 12 \times 14 + 8 \times 11 = 168 + 88 = 256 \) | 256 — в диапазоне 250–270 |
| 12 | 13 | \( 12 \times 13 + 8 \times 12 = 156 + 96 = 252 \) | 252 — в диапазоне 250–270 |
Все эти значения удовлетворяют условию.
Ответ:
Количество ящиков с виноградом, которое могло привезти в магазин — это:
\[ \boxed{ 8,\, 9,\, 10,\, 11,\, 12 } \]
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другим заданием, пишите!
