Давайте подробно разберём задачу: радиус окружности равен 16 см, вписанный угол равен 45°, нужно найти длину хорды AB.
Шаг 1. понять условия задачи
- Радиус окружности ( R = 16 ) см.
- Вписанный угол ( \angle AOB = 45^\circ ) (где A и B — точки касания хорды, O — центр окружности).
Шаг 2. что такое вписанный угол?
Вписанный угол в окружности — это угол, который опирается на дугу окружности.
Ключевой факт: вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
Если есть вписанный угол ( \alpha ), то дуга, на которую он опирается:
[
\text{Дуга} = 2 \alpha
]
Для нашей задачи:
[
\text{Дуга, соответствующая углу } 45^\circ = 2 \times 45^\circ = 90^\circ
]
Значит, хорда AB опирается на дугу в 90°.
Шаг 3. найти длину хорды AB
Обозначим:
- Центр окружности — ( O ),
- Точки пересечения дуги и хорды — ( A ) и ( B ),
Чтобы найти длину хорды AB, используем формулу:
[
AB = 2 R \sin \frac{\theta}{2}
]
где ( \theta ) — центральный угол, соответствующий дуге, на которую опирается хорда.
Теперь определим (\theta):
- Вписанный угол ( 45^\circ ) — угол с вершиной в окружности,
- Тогда центральный угол, соответствующий дуге, — это двойной вписанного угла:
[
\theta = 2 \times 45^\circ = 90^\circ
]
Шаг 4. подставляем значения
Подставляем ( R = 16 ) см и ( \theta = 90^\circ ) в формулу:
[
AB = 2 \times 16 \times \sin \frac{90^\circ}{2}
= 32 \times \sin 45^\circ
]
Знаем, что:
[
\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}
]
Следовательно,
[
AB = 32 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 16 \sqrt{2}
]
Итог:
[
\boxed{
AB = 16 \sqrt{2} \text{ см}
}
]
Это примерно 22,63 см.
Если нужно, могу помочь с дополнительными пояснениями или проверить решение!
