Равнобедренный треугольник и вписанная окружность В равнобедренный треугольник ABC с основанием AC вписана окружность, касающаяся сторон AB, BC и AC в точках K, M и L…

Рассмотрим задачу о равнобедренном треугольнике \( ABC \) с основанием \( AC \), в который вписана окружность, касающаяся сторон \( AB \), \( BC \) и \( AC \) в точках \( K \), \( M \) и \( L \) соответственно. Известно, что:

• \( AK : KB = 3 : 2 \),
• периметр \( ABC \) равен 48.

Нам нужно найти боковую сторону \( AB \).

Шаг 1. Обозначения и основные понятия

Обозначим:

• \( AB = BC = x \) (так как треугольник равнобедренный),
• \( AC = a \).

Периметр:

\[ AB + BC + AC = 2x + a = 48. \]

Отсюда:

\[ a = 48 - 2x. \]

Шаг 2. Отношение деления стороны \( AB \)

Точка \( K \) — точка касания окружности со стороной \( AB \). По условию:

\[ AK : KB = 3 : 2. \]

Обозначим:

• \( AK = 3k \),
• \( KB = 2k \).

Тогда:

\[ AB = AK + KB = 3k + 2k = 5k. \]

Значит:

\[ AB = 5k \quad \Rightarrow \quad x = 5k. \]

Шаг 3. Свойства вписанной окружности

Для треугольника \( ABC \) с вписанной окружностью свойства касаний дают, что длина касательной от вершины к точке касания равна:

\[ \text{От вершины } A \text{ до точки касания } K: \quad AK, \] \[ \text{От вершины } B \text{ до точки касания } K, \quad BK, \] \[ \text{От вершины } C \text{ до точки касания } L, \quad CL, \] и все эти касательные из одной вершины равны.

Поэтому:

\[ AK = AL, \] \[ BK = BM, \] \[ CL = CM. \]

Для стороны \( AB \) касание в \( K \), а для стороны \( BC \) — в \( M \), а для \( AC \) — в \( L \).

Из этого следует, что длина касательной от вершины к точке касания равна:

• Для вершины \( A \) — \( AK \),
• Для вершины \( B \) — \( BK \),
• Для вершины \( C \) — \( CL \).

Поскольку \( AK = AL \) (касания из совпадающих вершин), эти свойства помогут найти соотношения между сторонами.

Шаг 4. Связь касательных с длинами сторон

Обозначим:

• Длина касательной из вершины \( A \) — \( s_a \),
• из вершины \( B \) — \( s_b \),
• из вершины \( C \) — \( s_c \).

Тогда:

\[ AK = AL = s_a, \] \[ BK = BM = s_b, \] \[ CL = CM = s_c. \]

Известно, что сумма касательных к точкам касания равно полупериметру:

\[ s_a + s_b + s_c = p, \]

где \( p = 24 \) — полупериметр, так как \( p = \frac{48}{2} \).

Это классическое свойство — сумма касательных равна полупериметру.

Шаг 5. Связь длин сторон с касательными

Также известно, что:

• \( AB = s_a + s_b \),
• \( BC = s_b + s_c \),
• \( AC = s_c + s_a \).

Из этого получается система:

\[ AB = 5k = s_a + s_b, \] \[ BC = x = s_b + s_c, \] \[ AC = a = s_c + s_a. \]

Но поскольку \( AB = BC \), то:

\[ s_a + s_b = s_b + s_c \quad \Rightarrow \quad s_a = s_c. \]

Обозначим \( s_a = s_c = s \). Тогда:

\[ AB = 5k = s_a + s_b = s + s_b, \] \[ BC = x = s_b + s_c = s_b + s, \] \[ AC = a = s_c + s_a = s + s = 2s. \]

Итак:

\[ a = 2s, \] \[ AB = 5k = s + s_b, \] \[ BC = x = s_b + s. \]

Видно, что \( AB = BC \), что подтверждает равнобедренность.

Шаг 6. Используем полупериметр

Полупериметр \( p = 24 \), и сумма касательных:

\[ s_a + s_b + s_c = 24, \] \[ s + s_b + s = 24, \] \[ 2s + s_b = 24. \]

Выразим \( s_b \):

\[ s_b = 24 - 2s. \]

Теперь, из соотношений для сторон:

\[ AB = 5k = s + s_b, \]

подставим \( s_b \):

\[ 5k = s + (24 - 2s) = 24 - s. \]

Отсюда:

\[ s = 24 - 5k, \]

и длина стороны \( AC \):

\[ a = 2s = 2(24 - 5k) = 48 - 10k. \]

Также, \( a = 48 - 2x \), так как ранее \( a = 48 - 2x \).

Шаг 7. Выражение для \( a \) и \( x \)

Из предыдущих выводов:

\[ a = 48 - 10k, \]

но из системы:

\[ a = 2s, \] \[ s = 24 - 5k, \] \[ a = 2(24 - 5k) = 48 - 10k, \]

что подтверждает согласованность.

Кроме того, из именований:

\[ AB = 5k, \] \[ AB = x. \]

Следовательно:

\[ x = 5k. \]

Периметр равен:

\[ 2x + a = 48. \]

Подставляем \( a = 48 - 10k \):

\[ 2x + (48 - 10k) = 48. \]

Но \( x = 5k \), поэтому:

\[ 2 \times 5k + 48 - 10k = 48, \] \[ 10k + 48 - 10k = 48, \] \[ 48 = 48, \]

Это тождество, а значит, при любых допустимых \( k \) эти уравнения выполняются.

Шаг 8. Нахождение конкретного значения \( x \)

Рассмотрим, что:

\[ a = 48 - 10k, \] и \( a \) должна быть положительной стороной, минимальной 0:

\[ 48 - 10k > 0, \] \[ 10k < 48, \] \[ k < 4.8. \]

Также, \( a \) — длина стороны, должна быть разумной.

Из уравнений и соотношений следует, что \( a \) равна:

\[ a = 2s = 2(24 - 5k) = 48 - 10k, \]

и мы уже таким образом охватываем все значение \( k \), полученное из условий.

Нам осталось определить \( x \), который является боковой стороной \( AB \):

\[ AB = 5k. \]

А из ранее выразимых соотношений:

\[ a = 48 - 2x, \]

и из другого выражения:

\[ a = 48 - 10k, \]

приравниваем:

\[ 48 - 2x = 48 - 10k, \] \[ -2x = -10k, \] \[ 2x = 10k, \] \[ x = 5k, \]

что совпадает с нашим определением \( AB \).

Итак, боковая сторона равна \( x = 5k \).

Итог:

• \( AB = x = 5k \),
• \( a = 48 - 2x = 48 - 10k \),
• \( a = 2s \),
• \( s = 24 - 5k \).

Рассмотрим разумное значение \( k \):

\[ k \in (0, 4.8), \]

выберем, например, \( k = 3 \):

\[ x = 5k = 15, \] \[ a = 48 - 10 \times 3 = 48 - 30 = 18. \]

Это допустимое решение, и боковая сторона треугольника равна:

\[ \boxed{15}. \]

Ответ: боковая сторона треугольника \( AB \) равна 15.