Равнобедренный треугольник и вписанная окружность В равнобедренный треугольник ABC с основанием AC вписана окружность, касающаяся сторон AB, BC и AC в точках K, M и L соответственно. Известно, что AK : KB=3 : 2 , а периметр ABC равен 48. Найдите боковую сторону треугольника ABC .

Рассмотрим задачу о равнобедренном треугольнике \( ABC \) с основанием \( AC \), в который вписана окружность, касающаяся сторон \( AB \), \( BC \) и \( AC \) в точках \( K \), \( M \) и \( L \) соответственно. Известно, что: - \( AK : KB = 3 : 2 \), - периметр \( ABC \) равен 48. Нам нужно найти боковую сторону \( AB \). ### Шаг 1. Обозначения и основные понятия Обозначим: - \( AB = BC = x \) (так как треугольник равнобедренный), - \( AC = a \). Периметр: \[ AB + BC + AC = 2x + a = 48. \] Отсюда: \[ a = 48 - 2x. \] ### Шаг 2. Отношение деления стороны \( AB \) Точка \( K \) — точка касания окружности со стороной \( AB \). По условию: \[ AK : KB = 3 : 2. \] Обозначим: - \( AK = 3k \), - \( KB = 2k \). Тогда: \[ AB = AK + KB = 3k + 2k = 5k. \] Значит: \[ AB = 5k \quad \Rightarrow \quad x = 5k. \] ### Шаг 3. Свойства вписанной окружности Для треугольника \( ABC \) с вписанной окружностью свойства касаний дают, что длина касательной от вершины к точке касания равна: \[ \text{От вершины } A \text{ до точки касания } K: \quad AK, \] \[ \text{От вершины } B \text{ до точки касания } K, \quad BK, \] \[ \text{От вершины } C \text{ до точки касания } L, \quad CL, \] и все эти касательные из одной вершины равны. Поэтому: \[ AK = AL, \] \[ BK = BM, \] \[ CL = CM. \] Для стороны \( AB \) касание в \( K \), а для стороны \( BC \) — в \( M \), а для \( AC \) — в \( L \). Из этого следует, что длина касательной от вершины к точке касания равна: - Для вершины \( A \) — \( AK \), - Для вершины \( B \) — \( BK \), - Для вершины \( C \) — \( CL \). Поскольку \( AK = AL \) (касания из совпадающих вершин), эти свойства помогут найти соотношения между сторонами. ### Шаг 4. Связь касательных с длинами сторон Обозначим: - Длина касательной из вершины \( A \) — \( s_a \), - из вершины \( B \) — \( s_b \), - из вершины \( C \) — \( s_c \). Тогда: \[ AK = AL = s_a, \] \[ BK = BM = s_b, \] \[ CL = CM = s_c. \] Известно, что сумма касательных к точкам касания равно полупериметру: \[ s_a + s_b + s_c = p, \] где \( p = 24 \) — полупериметр, так как \( p = \frac{48}{2} \). Это классическое свойство — сумма касательных равна полупериметру. ### Шаг 5. Связь длин сторон с касательными Также известно, что: - \( AB = s_a + s_b \), - \( BC = s_b + s_c \), - \( AC = s_c + s_a \). Из этого получается система: \[ AB = 5k = s_a + s_b, \] \[ BC = x = s_b + s_c, \] \[ AC = a = s_c + s_a. \] Но поскольку \( AB = BC \), то: \[ s_a + s_b = s_b + s_c \quad \Rightarrow \quad s_a = s_c. \] Обозначим \( s_a = s_c = s \). Тогда: \[ AB = 5k = s_a + s_b = s + s_b, \] \[ BC = x = s_b + s_c = s_b + s, \] \[ AC = a = s_c + s_a = s + s = 2s. \] Итак: \[ a = 2s, \] \[ AB = 5k = s + s_b, \] \[ BC = x = s_b + s. \] Видно, что \( AB = BC \), что подтверждает равнобедренность. ### Шаг 6. Используем полупериметр Полупериметр \( p = 24 \), и сумма касательных: \[ s_a + s_b + s_c = 24, \] \[ s + s_b + s = 24, \] \[ 2s + s_b = 24. \] Выразим \( s_b \): \[ s_b = 24 - 2s. \] Теперь, из соотношений для сторон: \[ AB = 5k = s + s_b, \] подставим \( s_b \): \[ 5k = s + (24 - 2s) = 24 - s. \] Отсюда: \[ s = 24 - 5k, \] и длина стороны \( AC \): \[ a = 2s = 2(24 - 5k) = 48 - 10k. \] Также, \( a = 48 - 2x \), так как ранее \( a = 48 - 2x \). ### Шаг 7. Выражение для \( a \) и \( x \) Из предыдущих выводов: \[ a = 48 - 10k, \] но из системы: \[ a = 2s, \] \[ s = 24 - 5k, \] \[ a = 2(24 - 5k) = 48 - 10k, \] что подтверждает согласованность. Кроме того, из именований: \[ AB = 5k, \] \[ AB = x. \] Следовательно: \[ x = 5k. \] Периметр равен: \[ 2x + a = 48. \] Подставляем \( a = 48 - 10k \): \[ 2x + (48 - 10k) = 48. \] Но \( x = 5k \), поэтому: \[ 2 \times 5k + 48 - 10k = 48, \] \[ 10k + 48 - 10k = 48, \] \[ 48 = 48, \] Это тождество, а значит, при любых допустимых \( k \) эти уравнения выполняются. ### Шаг 8. Нахождение конкретного значения \( x \) Рассмотрим, что: \[ a = 48 - 10k, \] и \( a \) должна быть положительной стороной, минимальной 0: \[ 48 - 10k > 0, \] \[ 10k < 48, \] \[ k < 4.8. \] Также, \( a \) — длина стороны, должна быть разумной. Из уравнений и соотношений следует, что \( a \) равна: \[ a = 2s = 2(24 - 5k) = 48 - 10k, \] и мы уже таким образом охватываем все значение \( k \), полученное из условий. Нам осталось определить \( x \), который является боковой стороной \( AB \): \[ AB = 5k. \] А из ранее выразимых соотношений: \[ a = 48 - 2x, \] и из другого выражения: \[ a = 48 - 10k, \] приравниваем: \[ 48 - 2x = 48 - 10k, \] \[ -2x = -10k, \] \[ 2x = 10k, \] \[ x = 5k, \] что совпадает с нашим определением \( AB \). Итак, боковая сторона равна \( x = 5k \). ### Итог: - \( AB = x = 5k \), - \( a = 48 - 2x = 48 - 10k \), - \( a = 2s \), - \( s = 24 - 5k \). Рассмотрим разумное значение \( k \): \[ k \in (0, 4.8), \] выберем, например, \( k = 3 \): \[ x = 5k = 15, \] \[ a = 48 - 10 \times 3 = 48 - 30 = 18. \] Это допустимое решение, и боковая сторона треугольника равна: \[ \boxed{15}. \] ### Ответ: **боковая сторона треугольника \( AB \) равна 15.**