Построй у себя в тетради координатную плоскость и отметь на ней точки A ( − 4 ; − 5 ) A(−4;−5) , B ( 10 ; 2 ) B(10;2) , C ( − 4 ; 4 ) C(−4;4) и D ( − 1 ; − 8 ) D(−1;−8) . Найди…

Давайте разберём задачу пошагово.

Цель: понять, как найти точку пересечения отрезков AB и CD, заданных координатами точек.

---

Шаг 1. Записываем данные точек:

• A(−4, −5)
• B(10, 2)
• C(−4, 4)
• D(−1, −8)

---

Шаг 2. Построение уравнений у линий AB и CD

Чтобы найти точку пересечения двух отрезков, сначала найдём уравнения прямых, на которых лежат эти отрезки.

Уравнение прямой AB

1. Найдём наклонник (угловой коэффициент):

\[ k_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - (-5)}{10 - (-4)} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} \]

2. Используем точку A(−4, −5) для составления уравнения прямой:

Формула прямой через точку:

\[ y - y_1 = k (x - x_1) \]

Подставляем:

\[ y - (-5) = \frac{1}{2} (x - (-4)) \]

\[ y + 5 = \frac{1}{2} (x + 4) \]

Раскроем скобки:

\[ y + 5 = \frac{1}{2} x + 2 \]

Переносим 5:

\[ y = \frac{1}{2} x + 2 - 5 = \frac{1}{2} x - 3 \]

Уравнение прямой AB:

\[ \boxed{ y = \frac{1}{2} x - 3 } \]

---

Уравнение прямой CD

1. Находим наклонник:

\[ k_{CD} = \frac{y_D - y_C}{x_D - x_C} = \frac{-8 - 4}{-1 - (-4)} = \frac{-12}{3} = -4 \]

2. Используем точку C(−4, 4) для уравнения:

\[ y - 4 = -4 (x - (-4)) \]

\[ y - 4 = -4 (x + 4) \]

Раскроем скобки:

\[ y - 4 = -4x - 16 \]

Переносим:

\[ y = -4x - 16 + 4 = -4x - 12 \]

Уравнение прямой CD:

\[ \boxed{ y = -4x - 12 } \]

---

Шаг 3. Находим точку пересечения двух прямых

Приравниваем выражения для y:

\[ \frac{1}{2} x - 3 = -4x - 12 \]

Решим уравнение:

\[ \frac{1}{2} x + 4x = -12 + 3 \]

\[ \frac{1}{2} x + 4x = -9 \]

Переведем все члены к общему виду:

\[ \frac{1}{2} x + 4x = \frac{1}{2} x + \frac{8}{2} x = \frac{1 + 8}{2} x = \frac{9}{2} x \]

Следовательно:

\[ \frac{9}{2} x = -9 \]

Умножим обе части на 2 для удобства:

\[ 9x = -18 \]

Наклоняем обе части:

\[ x = -2 \]

Теперь подставляем x в одно из уравнений, например, в уравнение AB:

\[ y = \frac{1}{2} (-2) - 3 = -1 - 3 = -4 \]

---

Ответ:

Координаты точки пересечения отрезков AB и CD:

\[ \boxed{ (-2; -4) } \]

---

Шаг 4. Проверка, входит ли точка в отрезки

Чтобы убедиться, что точка пересечения действительно лежит внутри обоих отрезков, проверим её по координатам.

• Для AB:

  • X-координата: \(-4\) лежит между \(-4\) (A) и \(10\) (B) — это верно.

  • Y-координата: \(-4\) между \(-5\) и \(2\) — это верно.

• Для CD:

  • X-координата: \(-2\) лежит между \(-4\) и \(-1\) — верно.

  • Y-координата: \(-4\) между \(4\) и \(-8\) — верно.

Значит, точка \((-2, -4)\) действительно лежит внутри обоих отрезков.

---

Итог:

Координаты точки пересечения отрезков AB и CD — (-2, -4).