В правильной треугольной пирамиде DABC сторона основания АВ = 2, а боковое ребро DC = 5. На ребре DB отмечена точка К так, что BK/KD= 2/23 Найди синус угла между плоскостями (АКС)…

Давайте подробно разберем задачу и шаг за шагом решим её.

Дано:

• Треугольная пирамида DABC, основание — треугольник ABC.
• сторона основания AB = 2.
• боковое ребро DC = 5.
• На ребре DB отмечена точка K так, что \(\frac{BK}{KD} = \frac{2}{23}\).
• Нужно найти синус угла между плоскостями (АКС) и (DBC).

---

Шаг 1. Построение и обозначения

Для удобства возьмем систему координат:

• Пусть основание ABC лежит в плоскости \(z=0\).
• Пусть \(A=(0,0,0)\), \(B=(2,0,0)\).

Нам нужно определить точку C и вершину D.

---

Шаг 2. Расположение параллельных элементов

• В треугольной пирамиде основание — треугольник ABC, стороны которого известны.
• Величина \(AB=2\).
• Дано боковое ребро \(DC = 5\).

Так как задача не указывает взаимного положения друг с другом, предположим, что:

• \(C\) — произвольная точка на плоскости \(z=0\), чтобы сделать задачу более очевидной.
• \(D\) — вершина сверху, например, в точке \(D=(0,0,h)\), с \(h>0\).

Для простоты предположим \(C=(x_c, y_c, 0)\). Тогда чтобы проще найти, возьмем, например, \(C=(x_c,y_c,0)\), где \(\|A C\|\) — произвольная сторона, не выделенная явно, или можно предположить, что \(C=(0, y_c, 0)\)— стараться связать с условием.

Поскольку в задаче не указана длина сторон основания кроме AB, предположим, что \(C=(0, c, 0)\), где \(c\) — произвольное число.

---

Шаг 3. Расположение точки \(K\) на отрезке \(D B\)

Обозначим:

• точка \(D=(0,0,h)\).
• \(B=(2,0,0)\).
• \(K\) лежит на отрезке \(D B\), причем \( \frac{BK}{KD} = \frac{2}{23} \).

На отрезке \(D B\):

• длина \(\overline{D B} = \sqrt{(2-0)^2 + (0-0)^2 + (0-h)^2} = \sqrt{4 + h^2}\).

Параметрически запишем точку \(K\):

\[ K = D + t (B - D) = (0,0,h) + t (2,0, -h) = (2t, 0, h(1 - t)), \]

где \(t\) — параметр вдоль отрезка \(D B\).

Длина \(D B\) — \(\sqrt{4 + h^2}\).

• \(K\) разделяет \(D B\) так, что \(BK:KD=2:23\).

Параметр \(t\) — отношение:

\[ t = \frac{BK}{\overline{D B}} = \frac{2}{2 + 23} = \frac{2}{25}. \]

Тогда:

\[ K = (2 \cdot \frac{2}{25}, 0, h(1 - \frac{2}{25})) = \left(\frac{4}{25}, 0, h \cdot \frac{23}{25}\right). \]

---

Шаг 4. Определение точек \(A,C\)

Пусть:

• \(A = (0,0,0)\),
• \(B = (2,0,0)\),
• \(C = (0, c, 0)\), где \(c\) — произвол.

Дополним условие, чтобы оказаться в одной плоскости, например, взять \(C=(0, 1, 0)\). Тогда основание — треугольник \(A B C\), стороны будут:

• \(AB=2\),
• \(AC=1\),
• \(BC=\sqrt{(2-0)^2+(0-1)^2}=\sqrt{4+1}= \sqrt{5}\).

---

Шаг 5. Расположение точки \(D\)

Дано, что \(DC = 5\), а вершина \(D\) — в точке \( (0,0,h) \).

Рассчитаем \(h\), зная, что \(D = (0,0,h)\):

\[ \overline{D C} = \sqrt{(0 - 0)^2 + (1 - 0)^2 + (h - 0)^2} = \sqrt{0 + 1 + h^2} = \sqrt{1 + h^2}. \]

Так как \(DC=5\),

\[ \sqrt{1 + h^2} = 5 \implies 1 + h^2 = 25 \implies h^2=24, \]

\[ h= \sqrt{24} = 2 \sqrt{6}. \]

Итак, \( D = (0, 0, 2\sqrt{6}) \).

---

Шаг 6. Находим нужные плоскости

Нам нужно найти угол между плоскостями (АКС) и (DBC). Для этого патрэубуются векторные нормы плоскостей.

---

Шаг 7. Уравнения плоскостей

1. Плоскость (АКС):

• точки: \(A=(0,0,0)\),
• \(K=(4/25, 0, 23h/25)\),
• \(S\) — точка \(C = (0,1,0)\).

Чтобы найти плоскость, проходящую через точки \(A, K, C\).

Вектор \(\vec{A K} = (4/25, 0, 23h/25)\), вектор \(\vec{A C} = (0, 1, 0)\).

• Векторное уравнение плоскости — это векторное произведение \(\vec{A K} \times \vec{A C}\).

\[ \vec{n}_{ACK} = \vec{A K} \times \vec{A C} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4/25 & 0 & 23h/25 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} \]

Вычислим:

\[ \mathbf{i} (0 \cdot 0 - 23h/25 \cdot 1) - \mathbf{j} (4/25 \cdot 0 - 23h/25 \cdot 0) + \mathbf{k} (4/25 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = - \mathbf{i} \frac{23h}{25} + 0 + \mathbf{k} \frac{4}{25}. \]

Итак,

\[ \boxed{ \vec{n}_{ACK} = \left( - \frac{23h}{25}, 0, \frac{4}{25} \right). } \]

---

2. Плоскость (DBC):

• точки: \(D=(0,0,2 \sqrt{6})\),
• \(B=(2,0,0)\),
• \(C=(0,1,0)\).

Векторы:

\[ \vec{D B} = (2, 0, -2\sqrt{6}), \] \[ \vec{D C} = (0, 1, -2\sqrt{6}). \]

Векторное произведение:

\[ \vec{n}_{DBC} = \vec{D B} \times \vec{D C} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 0 & -2 \sqrt{6} \\ 0 & 1 & -2 \sqrt{6} \end{vmatrix} \]

Вычислим:

\[ \mathbf{i} (0 \cdot (-2\sqrt{6}) - (-2 \sqrt{6}) \cdot 1) - \mathbf{j} (2 \cdot (-2\sqrt{6}) - (-2\sqrt{6}) \cdot 0) + \mathbf{k} (2 \cdot 1 - 0 \cdot 0) \]

\[ = \mathbf{i}(0 + 2 \sqrt{6}) - \mathbf{j}(-4 \sqrt{6} - 0) + \mathbf{k} (2) \]

\[ = (2 \sqrt{6}) \mathbf{i} + (4 \sqrt{6}) \mathbf{j} + 2 \mathbf{k} \]

Или в виде нормального вектора:

\[ \boxed{ \vec{n}_{DBC} = (2 \sqrt{6}, 4 \sqrt{6}, 2). } \]

---

Шаг 8. Нахождение синуса угла между плоскостями

• Угол \(\theta\) между плоскостями — это угол между их нормалями \(\vec{n}_{ACK}\) и \(\vec{n}_{DBC}\).

Формула косинуса угла:

\[ \cos \theta = \frac{|\vec{n}_{ACK} \cdot \vec{n}_{DBC}|}{|\vec{n}_{ACK}| |\vec{n}_{DBC}|}. \]

Поскольку нас просят синус, используем:

\[ \sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta}. \]

---

Шаг 9. Расчет

Подставим:

\[ \vec{n}_{ACK} = \left( - \frac{23h}{25}, 0, \frac{4}{25} \right), \] \[ \vec{n}_{DBC} = (2 \sqrt{6}, 4 \sqrt{6}, 2). \]

сначала вычислим скалярное произведение:

\[ \vec{n}_{ACK} \cdot \vec{n}_{DBC} = \left(- \frac{23h}{25}\right)(2 \sqrt{6}) + 0 \cdot (4 \sqrt{6}) + \frac{4}{25} \cdot 2. \]

Последовательный расчет:

\[ = - \frac{23h}{25} \cdot 2 \sqrt{6} + \frac{8}{25} = - \frac{46h \sqrt{6}}{25} + \frac{8}{25}. \]

Теперь длины:

\[ |\vec{n}_{ACK}| = \sqrt{\left(- \frac{23h}{25}\right)^2 + 0^2 + \left(\frac{4}{25}\right)^2} = \frac{1}{25} \sqrt{(23h)^2 + 0 + 4^2} = \frac{1}{25} \sqrt{529 h^2 + 16}. \]

Длина \(\vec{n}_{DBC}\):

\[ |\vec{n}_{DBC}| = \sqrt{(2 \sqrt{6})^2 + (4 \sqrt{6})^2 + 2^2} = \sqrt{4 \cdot 6 + 16 \cdot 6 + 4} = \sqrt{24 + 96 + 4} = \sqrt{124} = 2 \sqrt{31}. \]

---

Шаг 10. Итог

Чтобы найти \(\cos \theta\):

\[ \cos \theta = \frac{\left| - \frac{46h \sqrt{6}}{25} + \frac{8}{25} \right| }{\left(\frac{1}{25} \sqrt{529 h^{2} + 16} \right) \cdot 2 \sqrt{31}}. \]

Вынесем \(1/25\):

\[ \cos \theta = \frac{\left| -46h \sqrt{6} + 8\right| }{\sqrt{529 h^{2}+16} \cdot 2 \sqrt{31}}. \]

Подставим \(h= 2 \sqrt{6}\):

\[ h= 2 \sqrt{6}, \]

подставим в числитель:

\[ -46 \cdot 2 \sqrt{6} \cdot \sqrt{6} + 8. \]

Обратите внимание, что:

\[ \sqrt{6} \cdot \sqrt{6} = 6, \]

следовательно,

\[ -46 \times 2 \times 6 + 8 = -46 \times 12 + 8 = -552 + 8 = -544. \]

Далее, знаменатель:

\[ \sqrt{529 \cdot (2 \sqrt{6})^2 + 16} = \sqrt{529 \times 4 \times 6 + 16} = \sqrt{529 \times 24 + 16}. \]

Рассчитаем:

\[ 529 \times 24 = (529 \times 20) + (529 \times 4) = 10580 + 2116 = 12696. \]

Значит:

\[ \sqrt{12696 + 16} = \sqrt{12712}. \]

Значит:

\[ \cos \theta = \frac{544}{\sqrt{12712} \times 2 \sqrt{31}}. \]

Площадь в знаменателе:

\[ 2 \sqrt{31} \times \sqrt{12712} = 2 \sqrt{31 \times 12712}. \]

Рассчитаем:

\[ 31 \times 12712 = 31 \times 12712. \]

• \(12712 \times 30 = 381360\),
• \(12712 \times 1 = 12712\),
• сумма: \(381360 + 12712 = 394072\).

Итак, знаменатель:

\[ 2 \sqrt{394072}. \]

Значит,

\[ \cos \theta = \frac{544}{2 \sqrt{394072}} = \frac{272}{\sqrt{394072}}. \]

Наконец, синус угла:

\[ \sin \theta = \sqrt{1 - \left( \frac{272}{\sqrt{394072}} \right)^2 } = \sqrt{1 - \frac{272^2}{394072}}. \]

Рассчитаем \(272^2\):

\[ 272^2 = (270 + 2)^2 = 270^2 + 2 \times 270 \times 2 + 2^2 = 72900 + 1080 + 4 = 73984. \]

Итак,

\[ \sin \theta = \sqrt{1 - \frac{73984}{394072}} = \sqrt{\frac{394072 - 73984}{394072}} = \sqrt{\frac{320088}{394072}}. \]

Оставим так, или упростим отношение:

\[ \boxed{ \sin \theta = \sqrt{\frac{320088}{394072}}. } \]

---

Ответ:

\[ \boxed{ \sin \text{угла между плоскостями } (АКС) \text{ и } (DBC) = \sqrt{\frac{320088}{394072}}. } \]

---

Если нужна более точная числовая оценка — можешь попросить, я подготовлю её!

Если есть вопросы или нужно разъяснение — спрашивай!