В правильной треугольной пирамиде DABC сторона основания АВ = 2, а боковое ребро DC = 5. На ребре DB отмечена точка К так, что BK/KD= 2/23 Найди синус угла между плоскостями (АКС) и (DBC).

Давайте подробно разберем задачу и шаг за шагом решим её. **Дано:** - Треугольная пирамида DABC, основание — треугольник ABC. - сторона основания AB = 2. - боковое ребро DC = 5. - На ребре DB отмечена точка K так, что \(\frac{BK}{KD} = \frac{2}{23}\). - Нужно найти синус угла между плоскостями (АКС) и (DBC). --- ### Шаг 1. Построение и обозначения Для удобства возьмем систему координат: - Пусть основание ABC лежит в плоскости \(z=0\). - Пусть \(A=(0,0,0)\), \(B=(2,0,0)\). Нам нужно определить точку C и вершину D. --- ### Шаг 2. Расположение параллельных элементов - В треугольной пирамиде основание — треугольник ABC, стороны которого известны. - Величина \(AB=2\). - Дано боковое ребро \(DC = 5\). Так как задача не указывает взаимного положения друг с другом, предположим, что: - \(C\) — произвольная точка на плоскости \(z=0\), чтобы сделать задачу более очевидной. - \(D\) — вершина сверху, например, в точке \(D=(0,0,h)\), с \(h>0\). Для простоты предположим \(C=(x_c, y_c, 0)\). Тогда чтобы проще найти, возьмем, например, \(C=(x_c,y_c,0)\), где \(\|A C\|\) — произвольная сторона, не выделенная явно, или можно предположить, что \(C=(0, y_c, 0)\)— стараться связать с условием. Поскольку в задаче не указана длина сторон основания кроме AB, предположим, что \(C=(0, c, 0)\), где \(c\) — произвольное число. --- ### Шаг 3. Расположение точки \(K\) на отрезке \(D B\) Обозначим: - точка \(D=(0,0,h)\). - \(B=(2,0,0)\). - \(K\) лежит на отрезке \(D B\), причем \( \frac{BK}{KD} = \frac{2}{23} \). На отрезке \(D B\): - длина \(\overline{D B} = \sqrt{(2-0)^2 + (0-0)^2 + (0-h)^2} = \sqrt{4 + h^2}\). Параметрически запишем точку \(K\): \[ K = D + t (B - D) = (0,0,h) + t (2,0, -h) = (2t, 0, h(1 - t)), \] где \(t\) — параметр вдоль отрезка \(D B\). Длина \(D B\) — \(\sqrt{4 + h^2}\). - \(K\) разделяет \(D B\) так, что \(BK:KD=2:23\). Параметр \(t\) — отношение: \[ t = \frac{BK}{\overline{D B}} = \frac{2}{2 + 23} = \frac{2}{25}. \] Тогда: \[ K = (2 \cdot \frac{2}{25}, 0, h(1 - \frac{2}{25})) = \left(\frac{4}{25}, 0, h \cdot \frac{23}{25}\right). \] --- ### Шаг 4. Определение точек \(A,C\) Пусть: - \(A = (0,0,0)\), - \(B = (2,0,0)\), - \(C = (0, c, 0)\), где \(c\) — произвол. Дополним условие, чтобы оказаться в одной плоскости, например, взять \(C=(0, 1, 0)\). Тогда основание — треугольник \(A B C\), стороны будут: - \(AB=2\), - \(AC=1\), - \(BC=\sqrt{(2-0)^2+(0-1)^2}=\sqrt{4+1}= \sqrt{5}\). --- ### Шаг 5. Расположение точки \(D\) Дано, что \(DC = 5\), а вершина \(D\) — в точке \( (0,0,h) \). Рассчитаем \(h\), зная, что \(D = (0,0,h)\): \[ \overline{D C} = \sqrt{(0 - 0)^2 + (1 - 0)^2 + (h - 0)^2} = \sqrt{0 + 1 + h^2} = \sqrt{1 + h^2}. \] Так как \(DC=5\), \[ \sqrt{1 + h^2} = 5 \implies 1 + h^2 = 25 \implies h^2=24, \] \[ h= \sqrt{24} = 2 \sqrt{6}. \] Итак, \( D = (0, 0, 2\sqrt{6}) \). --- ### Шаг 6. Находим нужные плоскости Нам нужно найти угол между плоскостями (АКС) и (DBC). Для этого патрэубуются векторные нормы плоскостей. --- ### Шаг 7. Уравнения плоскостей #### 1. Плоскость (АКС): - точки: \(A=(0,0,0)\), - \(K=(4/25, 0, 23h/25)\), - \(S\) — точка \(C = (0,1,0)\). Чтобы найти плоскость, проходящую через точки \(A, K, C\). Вектор \(\vec{A K} = (4/25, 0, 23h/25)\), вектор \(\vec{A C} = (0, 1, 0)\). - Векторное уравнение плоскости — это векторное произведение \(\vec{A K} \times \vec{A C}\). \[ \vec{n}_{ACK} = \vec{A K} \times \vec{A C} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4/25 & 0 & 23h/25 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} \] Вычислим: \[ \mathbf{i} (0 \cdot 0 - 23h/25 \cdot 1) - \mathbf{j} (4/25 \cdot 0 - 23h/25 \cdot 0) + \mathbf{k} (4/25 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = - \mathbf{i} \frac{23h}{25} + 0 + \mathbf{k} \frac{4}{25}. \] Итак, \[ \boxed{ \vec{n}_{ACK} = \left( - \frac{23h}{25}, 0, \frac{4}{25} \right). } \] --- #### 2. Плоскость (DBC): - точки: \(D=(0,0,2 \sqrt{6})\), - \(B=(2,0,0)\), - \(C=(0,1,0)\). Векторы: \[ \vec{D B} = (2, 0, -2\sqrt{6}), \] \[ \vec{D C} = (0, 1, -2\sqrt{6}). \] Векторное произведение: \[ \vec{n}_{DBC} = \vec{D B} \times \vec{D C} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 0 & -2 \sqrt{6} \\ 0 & 1 & -2 \sqrt{6} \end{vmatrix} \] Вычислим: \[ \mathbf{i} (0 \cdot (-2\sqrt{6}) - (-2 \sqrt{6}) \cdot 1) - \mathbf{j} (2 \cdot (-2\sqrt{6}) - (-2\sqrt{6}) \cdot 0) + \mathbf{k} (2 \cdot 1 - 0 \cdot 0) \] \[ = \mathbf{i}(0 + 2 \sqrt{6}) - \mathbf{j}(-4 \sqrt{6} - 0) + \mathbf{k} (2) \] \[ = (2 \sqrt{6}) \mathbf{i} + (4 \sqrt{6}) \mathbf{j} + 2 \mathbf{k} \] Или в виде нормального вектора: \[ \boxed{ \vec{n}_{DBC} = (2 \sqrt{6}, 4 \sqrt{6}, 2). } \] --- ### Шаг 8. Нахождение синуса угла между плоскостями - Угол \(\theta\) между плоскостями — это угол между их нормалями \(\vec{n}_{ACK}\) и \(\vec{n}_{DBC}\). Формула косинуса угла: \[ \cos \theta = \frac{|\vec{n}_{ACK} \cdot \vec{n}_{DBC}|}{|\vec{n}_{ACK}| |\vec{n}_{DBC}|}. \] Поскольку нас просят синус, используем: \[ \sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta}. \] --- ### Шаг 9. Расчет Подставим: \[ \vec{n}_{ACK} = \left( - \frac{23h}{25}, 0, \frac{4}{25} \right), \] \[ \vec{n}_{DBC} = (2 \sqrt{6}, 4 \sqrt{6}, 2). \] сначала вычислим скалярное произведение: \[ \vec{n}_{ACK} \cdot \vec{n}_{DBC} = \left(- \frac{23h}{25}\right)(2 \sqrt{6}) + 0 \cdot (4 \sqrt{6}) + \frac{4}{25} \cdot 2. \] Последовательный расчет: \[ = - \frac{23h}{25} \cdot 2 \sqrt{6} + \frac{8}{25} = - \frac{46h \sqrt{6}}{25} + \frac{8}{25}. \] Теперь длины: \[ |\vec{n}_{ACK}| = \sqrt{\left(- \frac{23h}{25}\right)^2 + 0^2 + \left(\frac{4}{25}\right)^2} = \frac{1}{25} \sqrt{(23h)^2 + 0 + 4^2} = \frac{1}{25} \sqrt{529 h^2 + 16}. \] Длина \(\vec{n}_{DBC}\): \[ |\vec{n}_{DBC}| = \sqrt{(2 \sqrt{6})^2 + (4 \sqrt{6})^2 + 2^2} = \sqrt{4 \cdot 6 + 16 \cdot 6 + 4} = \sqrt{24 + 96 + 4} = \sqrt{124} = 2 \sqrt{31}. \] --- ### Шаг 10. Итог Чтобы найти \(\cos \theta\): \[ \cos \theta = \frac{\left| - \frac{46h \sqrt{6}}{25} + \frac{8}{25} \right| }{\left(\frac{1}{25} \sqrt{529 h^{2} + 16} \right) \cdot 2 \sqrt{31}}. \] Вынесем \(1/25\): \[ \cos \theta = \frac{\left| -46h \sqrt{6} + 8\right| }{\sqrt{529 h^{2}+16} \cdot 2 \sqrt{31}}. \] Подставим \(h= 2 \sqrt{6}\): \[ h= 2 \sqrt{6}, \] подставим в числитель: \[ -46 \cdot 2 \sqrt{6} \cdot \sqrt{6} + 8. \] Обратите внимание, что: \[ \sqrt{6} \cdot \sqrt{6} = 6, \] следовательно, \[ -46 \times 2 \times 6 + 8 = -46 \times 12 + 8 = -552 + 8 = -544. \] Далее, знаменатель: \[ \sqrt{529 \cdot (2 \sqrt{6})^2 + 16} = \sqrt{529 \times 4 \times 6 + 16} = \sqrt{529 \times 24 + 16}. \] Рассчитаем: \[ 529 \times 24 = (529 \times 20) + (529 \times 4) = 10580 + 2116 = 12696. \] Значит: \[ \sqrt{12696 + 16} = \sqrt{12712}. \] Значит: \[ \cos \theta = \frac{544}{\sqrt{12712} \times 2 \sqrt{31}}. \] Площадь в знаменателе: \[ 2 \sqrt{31} \times \sqrt{12712} = 2 \sqrt{31 \times 12712}. \] Рассчитаем: \[ 31 \times 12712 = 31 \times 12712. \] - \(12712 \times 30 = 381360\), - \(12712 \times 1 = 12712\), - сумма: \(381360 + 12712 = 394072\). Итак, знаменатель: \[ 2 \sqrt{394072}. \] Значит, \[ \cos \theta = \frac{544}{2 \sqrt{394072}} = \frac{272}{\sqrt{394072}}. \] Наконец, синус угла: \[ \sin \theta = \sqrt{1 - \left( \frac{272}{\sqrt{394072}} \right)^2 } = \sqrt{1 - \frac{272^2}{394072}}. \] Рассчитаем \(272^2\): \[ 272^2 = (270 + 2)^2 = 270^2 + 2 \times 270 \times 2 + 2^2 = 72900 + 1080 + 4 = 73984. \] Итак, \[ \sin \theta = \sqrt{1 - \frac{73984}{394072}} = \sqrt{\frac{394072 - 73984}{394072}} = \sqrt{\frac{320088}{394072}}. \] Оставим так, или упростим отношение: \[ \boxed{ \sin \theta = \sqrt{\frac{320088}{394072}}. } \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ \sin \text{угла между плоскостями } (АКС) \text{ и } (DBC) = \sqrt{\frac{320088}{394072}}. } \] --- Если нужна более точная числовая оценка — можешь попросить, я подготовлю её! **Если есть вопросы или нужно разъяснение — спрашивай!**