Найдите количество пятизначных записанных в девятеричной системе счисления чисел, в которых одна 1 и рядом с ней (слева или справа) НЕ могут стоять четные цифры.
Рассмотрим задачу поэтапно.
Шаг 1. Общие условия:
- Число пятизначное в девятеричной системе: цифры от 0 до 8.
- Первая цифра не может быть равна нулю (иначе число не будет пятизначным).
- В числе одна '1'.
- Перед и после '1' (если есть такие позиции) не может стоять четная цифра. Четные цифры: 0, 2, 4, 6, 8.
- Значит, рядом с '1' не может быть ни 0, ни одной из четных цифр, т.е. справа или слева '1' не может стоять четная цифра.
Обозначим позиции в числе: a1 a2 a3 a4 a5.
Шаг 2. Анализ возможных позиций '1'.
Рассмотрим случаи, когда '1' находится на различных позициях.
Случай 1: '1' в первой позиции (a1)
a1 = 1 (должно быть, чтобы оставить место для '1' и чтобы число было пятизначным).
Остальные позиции (a2, a3, a4, a5) не обязаны содержать '1', но в условии сказано, что всего одна '1', следовательно, только одна '1' во всём числе, в позиции a1.
В остальных позициях, где есть '1' — не может быть, мы уже выбрали a1 = 1.
Для не '1' позиций (a2..a5): цифры от 0 до 8, не равные '1'.
Условие: '1' не может стоять рядом с четной цифрой. В данном случае, она в первой позиции, рядом только a2.
Значит: a2 ≠ чётная цифра (0,2,4,6,8). Т.к. к a2 относится ограничение: a2 ∈ {1,3,5,7}.
Так как a2 ≠ 1 (уже есть одна '1'), то a2 ∈ {3,5,7}.
Остальные цифры a3..a5 — любые, кроме '1'.
Количество вариантов для a3..a5:
Каждая — любые цифры 0..8, исключая '1' (чтобы не было второй '1').
Кол-во вариантов на каждую пози: 8 (цифры 0..8 за исключением 1).
ИТОГО для случая 1 (a1=1):
a1 = 1
a2 ∈ {3,5,7} — 3 варианта
a3, a4, a5: по 8 вариантов (0..8, исключая 1)
Общее число для этого случая:
\[ 3 \times 8^3 = 3 \times 512 = 1536 \]
Случай 2: '1' в положении a2
a2 = 1
a1 ≠ 0 (чтобы число было пятизначным), а также a1 ≠ 1 (у нас уже есть '1' в a2). Значит, a1 ∈ {2,3,4,5,6,7,8}
Условие: рядом с '1' не может стоять четная цифра.
Рядом '1' в a2: a1 как левый сосед, a3 как правый.
Тогда:
a1 ≠ четная → a1 ∈ {3,5,7} (не 2,4,6,8, так как они четные)
a3 ≠ четная → a3 ∈ {1,3,5,7} (1 — содержится здесь)
Остальные: a4, a5 — любые цифры 0..8, кроме '1' (чтобы не появилось второго '1').
Подсчёт:
a1: 3 варианта ({3,5,7})
a3: 4 варианта ({1,3,5,7})
a4: 8 вариантов (0..8, кроме '1')
a5: 8 вариантов
Итого:
\[ 3 \times 4 \times 8 \times 8 = 3 \times 4 \times 64 = 3 \times 256 = 768 \]
Случай 3: '1' в положении a3
a3 = 1
neighbors: a2 и a4
Условие: '1' не может стоять рядом с четной цифрой.
Тогда:
a2 ≠ четная → a2 ∈ {1,3,5,7,8} (но \(a2\) не может быть 1, так как 'одна' '1' на всю задачу, а в position a3 '1', тогда:
— a2 ≠ '1' (уже есть одна '1' в a3).
— и a2 ≠ чётная → a2 ∈ {3,5,7}
Аналогично:
- a4 ≠ четная → a4 ∈ {1,3,5,7} (можно взять, так как '1' есть в a3 — в общем случае это не запрещено, кроме что '1' уже есть только на одних позициях).
Остальные (a1, a5):
a1: не равен 0, т.к. число пятизначное.
'1' уже есть — мы уже поставили '1' в a3, дальше других '1' ставить нельзя.
a1 ≠ 0, а также может быть любой из цифр 2..8, кроме '1' (оригинально), так как есть одна '1' в a3.
Так как только одна '1', исключить '1' из a1 и a5.
Итоги:
a1: 7 вариантов ({2,3,4,5,6,7,8})
a2: 3 варианта ({3,5,7})
a4: 4 варианта ({1,3,5,7})
a5: 8 вариантов ({0..8} исключая '1')
Общий итог:
\[ 7 \times 3 \times 4 \times 8 = 7 \times 3 \times 32 = 7 \times 96 = 672 \]
Случай 4: '1' в положении a4
a4 = 1
neighbors: a3 и a5
Условие: '1' не может стоять рядом с четной цифрой.
Значит:
a3 ≠ четная → a3 ∈ {1,3,5,7}
a5 ≠ четная → a5 ∈ {1,3,5,7}
Остальные:
a1 ≠ 0, ведь число пятизначное.
Есть только одна '1' — в a4, так что a1 и a3, a5 не равны '1'.
Варианты:
a1: 7 вариантов ({2,3,4,5,6,7,8})
a3: 3 варианта ({3,5,7})
a5: 3 варианта ({3,5,7})
a2 — не участвует; остальные — любые цифры, кроме '1' (чтобы не было второй '1').
a2: 8 вариантов (0..8, исключая '1')
Итог:
\[ 7 \times 3 \times 3 \times 8 = 7 \times 3 \times 3 \times 8 = 7 \times 9 \times 8 = 7 \times 72 = 504 \]
Случай 5: '1' в положении a5
a5 = 1
neighbors: a4 и a4 не существует, только a4.
Условие: '1' не может стоять рядом с четной цифрой.
Тогда:
- a4 ≠ 0,2,4,6,8
Для a4:
- a4 ≠ четная → a4 ∈ {1,3,5,7}
Для a1:
a1 ≠ 0 (чтобы число было пятизначным).
'1' уже есть в a5, а в остальных позициях — другие '1' ставить нельзя.
Варианты:
a1: 7 вариантов ({2,3,4,5,6,7,8})
a4: 4 варианта ({1,3,5,7})
остальные, в том числе a2, a3: любые цифры 0..8, кроме '1' (чтобы не появилось второй '1').
Количество вариантов для a2, a3:
- по 8 вариантов (0..8 исключая '1')
Итог:
\[ 7 \times 8 \times 8 \times 4 = 7 \times 8 \times 8 \times 4 = 7 \times 64 \times 4 = 7 \times 256 = 1792 \]
Итоговая сумма по всем случаям:
\[ \boxed{ 1536 + 768 + 672 + 504 + 1792 } \]
Выполним сложение:
- \(1536 + 768 = 2304\)
- \(2304 + 672 = 2976\)
- \(2976 + 504 = 3480\)
- \(3480 + 1792 = 5272\)
Ответ:
\(\boxed{5272}\)
ИТО: количество пятизначных чисел в девятеричной системе с одной '1', где рядом с '1' не может стоять четная цифра — равно 5272.
