Найдите количество пятизначных записанных в девятеричной системе счисления чисел, в которых одна 1 и рядом с ней (слева или справа) НЕ могут стоять четные цифры.

Рассмотрим задачу поэтапно. **Шаг 1. Общие условия:** - Число пятизначное в девятеричной системе: цифры от 0 до 8. - Первая цифра не может быть равна нулю (иначе число не будет пятизначным). - В числе одна '1'. - Перед и после '1' (если есть такие позиции) не может стоять четная цифра. Четные цифры: 0, 2, 4, 6, 8. - Значит, рядом с '1' не может быть ни 0, ни одной из четных цифр, т.е. справа или слева '1' не может стоять четная цифра. Обозначим позиции в числе: a1 a2 a3 a4 a5. --- **Шаг 2. Анализ возможных позиций '1'.** Рассмотрим случаи, когда '1' находится на различных позициях. --- ### Случай 1: '1' в первой позиции (a1) - a1 = 1 (должно быть, чтобы оставить место для '1' и чтобы число было пятизначным). - Остальные позиции (a2, a3, a4, a5) не обязаны содержать '1', но в условии сказано, что **всего одна '1'**, следовательно, только одна '1' во всём числе, в позиции a1. - В остальных позициях, где есть '1' — не может быть, мы уже выбрали a1 = 1. - Для не '1' позиций (a2..a5): цифры от 0 до 8, не равные '1'. - Условие: '1' не может стоять рядом с четной цифрой. В данном случае, она в первой позиции, рядом только a2. - Значит: a2 ≠ чётная цифра (0,2,4,6,8). Т.к. к a2 относится ограничение: a2 ∈ {1,3,5,7}. - Так как a2 ≠ 1 (уже есть одна '1'), то a2 ∈ {3,5,7}. - Остальные цифры a3..a5 — любые, кроме '1'. - Количество вариантов для a3..a5: - Каждая — любые цифры 0..8, исключая '1' (чтобы не было второй '1'). - Кол-во вариантов на каждую пози: 8 (цифры 0..8 за исключением 1). --- **ИТОГО для случая 1 (a1=1):** - a1 = 1 - a2 ∈ {3,5,7} — 3 варианта - a3, a4, a5: по 8 вариантов (0..8, исключая 1) - Общее число для этого случая: \[ 3 \times 8^3 = 3 \times 512 = 1536 \] --- ### Случай 2: '1' в положении a2 - a2 = 1 - a1 ≠ 0 (чтобы число было пятизначным), а также a1 ≠ 1 (у нас уже есть '1' в a2). Значит, a1 ∈ {2,3,4,5,6,7,8} - Условие: рядом с '1' не может стоять четная цифра. - Рядом '1' в a2: a1 как левый сосед, a3 как правый. - Тогда: - a1 ≠ четная → a1 ∈ {3,5,7} (не 2,4,6,8, так как они четные) - a3 ≠ четная → a3 ∈ {1,3,5,7} (1 — содержится здесь) - Остальные: a4, a5 — любые цифры 0..8, кроме '1' (чтобы не появилось второго '1'). - Подсчёт: - a1: 3 варианта ({3,5,7}) - a3: 4 варианта ({1,3,5,7}) - a4: 8 вариантов (0..8, кроме '1') - a5: 8 вариантов Итого: \[ 3 \times 4 \times 8 \times 8 = 3 \times 4 \times 64 = 3 \times 256 = 768 \] --- ### Случай 3: '1' в положении a3 - a3 = 1 - neighbors: a2 и a4 - Условие: '1' не может стоять рядом с четной цифрой. - Тогда: - a2 ≠ четная → a2 ∈ {1,3,5,7,8} (но \(a2\) не может быть 1, так как 'одна' '1' на всю задачу, а в position a3 '1', тогда: — a2 ≠ '1' (уже есть одна '1' в a3). — и a2 ≠ чётная → a2 ∈ {3,5,7} - Аналогично: - a4 ≠ четная → a4 ∈ {1,3,5,7} (можно взять, так как '1' есть в a3 — в общем случае это не запрещено, кроме что '1' уже есть только на одних позициях). - Остальные (a1, a5): - a1: не равен 0, т.к. число пятизначное. - '1' уже есть — мы уже поставили '1' в a3, дальше других '1' ставить нельзя. - a1 ≠ 0, а также может быть любой из цифр 2..8, кроме '1' (оригинально), так как есть одна '1' в a3. - Так как только одна '1', исключить '1' из a1 и a5. - Итоги: - a1: 7 вариантов ({2,3,4,5,6,7,8}) - a2: 3 варианта ({3,5,7}) - a4: 4 варианта ({1,3,5,7}) - a5: 8 вариантов ({0..8} исключая '1') Общий итог: \[ 7 \times 3 \times 4 \times 8 = 7 \times 3 \times 32 = 7 \times 96 = 672 \] --- ### Случай 4: '1' в положении a4 - a4 = 1 - neighbors: a3 и a5 - Условие: '1' не может стоять рядом с четной цифрой. - Значит: - a3 ≠ четная → a3 ∈ {1,3,5,7} - a5 ≠ четная → a5 ∈ {1,3,5,7} - Остальные: - a1 ≠ 0, ведь число пятизначное. - Есть только одна '1' — в a4, так что a1 и a3, a5 не равны '1'. - Варианты: - a1: 7 вариантов ({2,3,4,5,6,7,8}) - a3: 3 варианта ({3,5,7}) - a5: 3 варианта ({3,5,7}) - a2 — не участвует; остальные — любые цифры, кроме '1' (чтобы не было второй '1'). - a2: 8 вариантов (0..8, исключая '1') - Итог: \[ 7 \times 3 \times 3 \times 8 = 7 \times 3 \times 3 \times 8 = 7 \times 9 \times 8 = 7 \times 72 = 504 \] --- ### Случай 5: '1' в положении a5 - a5 = 1 - neighbors: a4 и a4 не существует, только a4. - Условие: '1' не может стоять рядом с четной цифрой. - Тогда: - a4 ≠ 0,2,4,6,8 - Для a4: - a4 ≠ четная → a4 ∈ {1,3,5,7} - Для a1: - a1 ≠ 0 (чтобы число было пятизначным). - '1' уже есть в a5, а в остальных позициях — другие '1' ставить нельзя. - Варианты: - a1: 7 вариантов ({2,3,4,5,6,7,8}) - a4: 4 варианта ({1,3,5,7}) - остальные, в том числе a2, a3: любые цифры 0..8, кроме '1' (чтобы не появилось второй '1'). - Количество вариантов для a2, a3: - по 8 вариантов (0..8 исключая '1') - Итог: \[ 7 \times 8 \times 8 \times 4 = 7 \times 8 \times 8 \times 4 = 7 \times 64 \times 4 = 7 \times 256 = 1792 \] --- ## Итоговая сумма по всем случаям: \[ \boxed{ 1536 + 768 + 672 + 504 + 1792 } \] Выполним сложение: - \(1536 + 768 = 2304\) - \(2304 + 672 = 2976\) - \(2976 + 504 = 3480\) - \(3480 + 1792 = 5272\) ## Ответ: **\(\boxed{5272}\)** --- **ИТО: количество пятизначных чисел в девятеричной системе с одной '1', где рядом с '1' не может стоять четная цифра — равно 5272.**