реши задания на карточке
Рассмотрим каждое задание подробно и шаг за шагом.
Задание 1
1.a) Решите уравнение:
\[
\cos^2 x + 1.5 \cos x - 1 = 0
\]
1.b) Укажите корни, принадлежащие интервалу \(\left[\frac{3\pi}{2}; \frac{9\pi}{2}\right)\).
Решение 1.a
Это уравнение выглядит как квадратичное относительно \(\cos x\).
Обозначим
\[
t = \cos x
\]
Тогда уравнение принимает вид:
\[
t^2 + 1.5 t - 1 = 0
\]
Используем формулу для корней квадратного уравнения:
\[
t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
где:
- \(a = 1\)
- \(b = 1.5\)
- \(c = -1\)
Подставим:
\[
t = \frac{-1.5 \pm \sqrt{(1.5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2}
\]
\[
t = \frac{-1.5 \pm \sqrt{2.25 + 4}}{2}
\]
\[
t = \frac{-1.5 \pm \sqrt{6.25}}{2}
\]
\[
t = \frac{-1.5 \pm 2.5}{2}
\]
Теперь решим два варианта:
- \[ t = \frac{-1.5 + 2.5}{2} = \frac{1}{2} = 0.5 \]
- \[ t = \frac{-1.5 - 2.5}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]
Но \(\cos x\) лежит в диапазоне \([-1, 1]\). Значит, корень \(t=-2\) исключается.
Значит, остаётся:
\[
\cos x = 0.5
\]
Решение 1.b
Найдем все значения \(x\), при которых \(\cos x=0.5\), на интервале
\[
\left[\frac{3\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}\right)
\]
Цена \(\cos x=0.5\) достигается при:
\[
x = \pm \arccos(0.5) + 2 \pi n
\]
Известно, что:
\[
\arccos(0.5) = \frac{\pi}{3}
\]
Таким образом,
\[
x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n
\]
Рассмотрим полученные варианты:
- \(x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n\)
- \(x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n\)
Теперь ищем все \(n\), при которых эти значения попадают в интервал \(\left[\frac{3 \pi}{2}; \frac{9 \pi}{2}\right)\).
Находим подходящие значения \(n\):
Для первого варианта:
\[ x = \frac{\pi}{3} + 2 \pi n \]
Требуется:
\[ \frac{3\pi}{2} \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi n < \frac{9\pi}{2} \]
Переведём к числовым значениям:
Делим все на \(\pi\):
\[ \frac{3}{2} \leq \frac{1}{3} + 2 n < \frac{9}{2} \]
Рассмотрим неравенства по отдельности:
- \[ \frac{3}{2} \leq \frac{1}{3} + 2 n \Rightarrow 2 n \geq \frac{3}{2} - \frac{1}{3} \]
Объединим:
\[
\frac{3}{2} = \frac{9}{6},\quad \frac{1}{3} = \frac{2}{6}
\]
Итак:
\[
2 n \geq \frac{9}{6} - \frac{2}{6} = \frac{7}{6}
\]
\[
n \geq \frac{7}{12}
\]
- \[ \frac{1}{3} + 2 n < \frac{9}{2} \Rightarrow 2 n < \frac{9}{2} - \frac{1}{3} \]
Обозначим для единых вычислений:
\[ \frac{9}{2} = \frac{27}{6}, \quad \frac{1}{3} = \frac{2}{6} \]
Следовательно:
\[
2 n < \frac{27}{6} - \frac{2}{6} = \frac{25}{6}
\]
\[
n < \frac{25}{12}
\]
Итак:
\[
\frac{7}{12} \leq n < \frac{25}{12}
\]
Поскольку \(n\) — целое число, то:
\[
n = 1, 2
\]
(так как \(\frac{7}{12} \approx 0.58\), а \(\frac{25}{12} \approx 2.08\))
Значит:
\(n=1\): \[ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi \times 1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{7\pi}{3} \]
\(n=2\): \[ x= \frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{\pi}{3} + \frac{12\pi}{3} = \frac{13\pi}{3} \]
Проверим, входит ли эти значения в интервал:
\[ \left[\frac{3\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}\right) = [\frac{3\pi}{2} \approx 4.712, \frac{9\pi}{2} \approx 14.137] \]
- \(\frac{7\pi}{3} \approx 7.333\), входит в интервал
- \(\frac{13\pi}{3} \approx 13.599\), входит в интервал
Для второго варианта:
\[ x = -\frac{\pi}{3} + 2 \pi n \]
Рассмотрим неравенства:
\[ \frac{3\pi}{2} \leq -\frac{\pi}{3} + 2 \pi n < \frac{9 \pi}{2} \]
Делим на \(\pi\):
\[ \frac{3}{2} \leq -\frac{1}{3} + 2 n < \frac{9}{2} \]
Рассчитаем границы:
\[ \frac{3}{2} + \frac{1}{3} \leq 2 n \Rightarrow 2 n \geq \frac{9}{6} + \frac{2}{6} = \frac{11}{6} \] \[ n \geq \frac{11}{12} \approx 0.916...\Rightarrow n \geq 1 \]
\[ - \frac{\pi}{3} + 2 \pi n < \frac{9 \pi}{2} \] \[ 2 n < \frac{9}{2} + \frac{1}{3} \] \[ 2 n < \frac{27}{6} + \frac{2}{6} = \frac{29}{6} \] \[ n < \frac{29}{12} \approx 2.416 \]
Целые значения \(n\):
\[ n=1, 2 \]
\(n=1\): \[ x= -\frac{\pi}{3} + 2\pi = -\frac{\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} \] \(\approx 5.236\), входит в интервал
\(n=2\): \[ x= -\frac{\pi}{3} + 4\pi = -\frac{\pi}{3} + \frac{12\pi}{3} = \frac{11\pi}{3} \] \(\approx 11.461\), входит в интервал
Ответ к Заданию 1:
Корни уравнения (\cos
