Реши задания на карточке

Рассмотрим каждое задание подробно и шаг за шагом. --- ### Задание 1 **1.a)** Решите уравнение: \[ \cos^2 x + 1.5 \cos x - 1 = 0 \] **1.b)** Укажите корни, принадлежащие интервалу \(\left[\frac{3\pi}{2}; \frac{9\pi}{2}\right)\). --- ### Решение 1.a Это уравнение выглядит как квадратичное относительно \(\cos x\). Обозначим \[ t = \cos x \] Тогда уравнение принимает вид: \[ t^2 + 1.5 t - 1 = 0 \] Используем формулу для корней квадратного уравнения: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где: - \(a = 1\) - \(b = 1.5\) - \(c = -1\) Подставим: \[ t = \frac{-1.5 \pm \sqrt{(1.5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2} \] \[ t = \frac{-1.5 \pm \sqrt{2.25 + 4}}{2} \] \[ t = \frac{-1.5 \pm \sqrt{6.25}}{2} \] \[ t = \frac{-1.5 \pm 2.5}{2} \] Теперь решим два варианта: 1. \[ t = \frac{-1.5 + 2.5}{2} = \frac{1}{2} = 0.5 \] 2. \[ t = \frac{-1.5 - 2.5}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \] Но \(\cos x\) лежит в диапазоне \([-1, 1]\). Значит, корень \(t=-2\) исключается. **Значит, остаётся**: \[ \cos x = 0.5 \] --- ### Решение 1.b Найдем все значения \(x\), при которых \(\cos x=0.5\), на интервале \[ \left[\frac{3\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}\right) \] Цена \(\cos x=0.5\) достигается при: \[ x = \pm \arccos(0.5) + 2 \pi n \] Известно, что: \[ \arccos(0.5) = \frac{\pi}{3} \] Таким образом, \[ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \] Рассмотрим полученные варианты: - \(x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n\) - \(x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n\) Теперь ищем все \(n\), при которых эти значения попадают в интервал \(\left[\frac{3 \pi}{2}; \frac{9 \pi}{2}\right)\). --- ### Находим подходящие значения \(n\): #### Для первого варианта: \[ x = \frac{\pi}{3} + 2 \pi n \] Требуется: \[ \frac{3\pi}{2} \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi n < \frac{9\pi}{2} \] Переведём к числовым значениям: Делим все на \(\pi\): \[ \frac{3}{2} \leq \frac{1}{3} + 2 n < \frac{9}{2} \] Рассмотрим неравенства по отдельности: 1. \[ \frac{3}{2} \leq \frac{1}{3} + 2 n \Rightarrow 2 n \geq \frac{3}{2} - \frac{1}{3} \] Объединим: \[ \frac{3}{2} = \frac{9}{6},\quad \frac{1}{3} = \frac{2}{6} \] Итак: \[ 2 n \geq \frac{9}{6} - \frac{2}{6} = \frac{7}{6} \] \[ n \geq \frac{7}{12} \] 2. \[ \frac{1}{3} + 2 n < \frac{9}{2} \Rightarrow 2 n < \frac{9}{2} - \frac{1}{3} \] Обозначим для единых вычислений: \[ \frac{9}{2} = \frac{27}{6}, \quad \frac{1}{3} = \frac{2}{6} \] Следовательно: \[ 2 n < \frac{27}{6} - \frac{2}{6} = \frac{25}{6} \] \[ n < \frac{25}{12} \] Итак: \[ \frac{7}{12} \leq n < \frac{25}{12} \] Поскольку \(n\) — целое число, то: \[ n = 1, 2 \] (так как \(\frac{7}{12} \approx 0.58\), а \(\frac{25}{12} \approx 2.08\)) **Значит:** - \(n=1\): \[ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi \times 1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{7\pi}{3} \] - \(n=2\): \[ x= \frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{\pi}{3} + \frac{12\pi}{3} = \frac{13\pi}{3} \] Проверим, входит ли эти значения в интервал: \[ \left[\frac{3\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}\right) = [\frac{3\pi}{2} \approx 4.712, \frac{9\pi}{2} \approx 14.137] \] - \(\frac{7\pi}{3} \approx 7.333\), входит в интервал - \(\frac{13\pi}{3} \approx 13.599\), входит в интервал --- #### Для второго варианта: \[ x = -\frac{\pi}{3} + 2 \pi n \] Рассмотрим неравенства: \[ \frac{3\pi}{2} \leq -\frac{\pi}{3} + 2 \pi n < \frac{9 \pi}{2} \] Делим на \(\pi\): \[ \frac{3}{2} \leq -\frac{1}{3} + 2 n < \frac{9}{2} \] Рассчитаем границы: 1. \[ \frac{3}{2} + \frac{1}{3} \leq 2 n \Rightarrow 2 n \geq \frac{9}{6} + \frac{2}{6} = \frac{11}{6} \] \[ n \geq \frac{11}{12} \approx 0.916...\Rightarrow n \geq 1 \] 2. \[ - \frac{\pi}{3} + 2 \pi n < \frac{9 \pi}{2} \] \[ 2 n < \frac{9}{2} + \frac{1}{3} \] \[ 2 n < \frac{27}{6} + \frac{2}{6} = \frac{29}{6} \] \[ n < \frac{29}{12} \approx 2.416 \] Целые значения \(n\): \[ n=1, 2 \] - \(n=1\): \[ x= -\frac{\pi}{3} + 2\pi = -\frac{\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} \] \(\approx 5.236\), входит в интервал - \(n=2\): \[ x= -\frac{\pi}{3} + 4\pi = -\frac{\pi}{3} + \frac{12\pi}{3} = \frac{11\pi}{3} \] \(\approx 11.461\), входит в интервал --- ### **Ответ к Заданию 1**: Корни уравнения \(\cos