Давайте по шагам решим задачу:
Задача: На интервале ([-20, 20]) найти все целые числа (x) и (y), такие что выполняется уравнение:
[
x^2 - 9y = 0
]
или, эквивалентно:
[
x^2 = 9y
]
Шаг 1: Перепишем уравнение
Из уравнения видно, что (x^2) должно быть делителем числа (9), умноженного на (y). Также заметно, что (x^2) — это квадраты целых чисел, и они неотрицательны.
Шаг 2: Выразим (y)
Из уравнения:
[
y = \frac{x^2}{9}
]
Чтобы (y) было целым числом, деление (\frac{x^2}{9}) должно давать целое число. Значит, (x^2) должно быть кратно 9.
Шаг 3: Условия для (x)
Поскольку (x^2) кратно 9, то (x) должно быть кратно 3.
Обозначим:
[
x = 3k, \quad \text{где } k \in \mathbb{Z}
]
Тогда:
[
x^2 = (3k)^2 = 9k^2
]
Подставим в уравнение:
[
y = \frac{9k^2}{9} = k^2
]
Следовательно:
Для каждого целого (k), такого что (-20 \leq 3k \leq 20), найдутся решения:
[
x = 3k, \quad y = k^2
]
Шаг 4: Ограничения на (k)
Нам нужно определить целые (k), такие что:
[
-20 \leq 3k \leq 20
]
[
-20/3 \leq k \leq 20/3
]
чтобы получить целые (k):
[
-6.66\ldots \leq k \leq 6.66\ldots
]
поэтому,
[
k \in {-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
]
Шаг 5: Запись решений
Для каждого (k) из этого множества:
| (k) |
(x=3k) |
(y=k^2) |
| -6 |
-18 |
36 |
| -5 |
-15 |
25 |
| -4 |
-12 |
16 |
| -3 |
-9 |
9 |
| -2 |
-6 |
4 |
| -1 |
-3 |
1 |
| 0 |
0 |
0 |
| 1 |
3 |
1 |
| 2 |
6 |
4 |
| 3 |
9 |
9 |
| 4 |
12 |
16 |
| 5 |
15 |
25 |
| 6 |
18 |
36 |
Итог: Все пары целых чисел ((x, y)), удовлетворяющие уравнению:
[
\boxed{
\begin{aligned}
&(x, y) = \
&(-18,36), \
&(-15,25), \
&(-12,16), \
&(-9,9), \
&(-6,4), \
&(-3,1), \
&(0,0), \
&(3,1), \
&(6,4), \
&(9,9), \
&(12,16), \
&(15,25), \
&(18,36)
\end{aligned}
}
]
Если нужно, я могу помочь оформить это также в виде программного кода.
