Реши задание

Дано:
\( t^2 + 5z + 36z^2 \) — выражение, которое нужно представить в виде квадрата двучлена, то есть равносильно \((t + a z)^2 \).

Задача: найти \( t \).

Рассмотрим выражение:
\[ t^2 + 5z + 36z^2 \]

Чтобы сделать это квадратом двучлена, нам нужно представить его в виде:
\[ (t + A z)^2 = t^2 + 2 A t z + A^2 z^2 \]

Из этого следует сравнить:

• коэффициенты при \( t^2 \) — они совпадают, так как у нас есть \( t^2 \).
• коэффициенты при \( z \) — у исходного выражения \( 5z \), а у квадрата двучлена \( 2 A t z \), то есть:
  \[ 2 A t = 5 \]
• коэффициенты при \( z^2 \) — у исходного выражения \( 36z^2 \), а у квадрата \( A^2 z^2 \), то есть:
  \[ A^2 = 36 \]

Из второго уравнения получаем:
\[ A = \pm 6 \]

Рассмотрим оба варианта:

1. \( A = 6 \):

Тогда из первого уравнения:
\[ 2 \times 6 \times t = 5 \implies 12 t = 5 \implies t = \frac{5}{12} \]

2. \( A = -6 \):

Тогда:
\[ 2 \times (-6) \times t = 5 \implies -12 t = 5 \implies t = -\frac{5}{12} \]

Ответ: \( t^2 = \frac{25}{144} \).

Таким образом, \( t^2 = \frac{25}{144} \).

Ответ: \(\boxed{\frac{25}{144}}\).