Какие из этих утверждений верны? Выбери верные варианты ответа из списков. Если суммы соседних сторон выпуклого многоугольника равны, то в него можно вписать окружность. В каждый…

Давайте подробно разберем каждое из утверждений.

1. Если суммы соседних сторон выпуклого многоугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Это утверждение связано с условием существования вписанной окружности в многоугольник. Для многоугольника, чтобы в него можно было вписать окружность (т.е. чтобы существует окружность, касающаяся всех сторон внутри многоугольника), необходимо и достаточно, чтобы сумма длины каждой пары противоположных сторон была одинаковой. В случае квадрата или ромба, этот признак очевиден, а для произвольных многоугольников — это следствие условия вписываемости.

Однако, в данном утверждении говорится: "Суммы соседних сторон равны". Для вписания окружности в многоугольник нужно, чтобы сумма длин сторон, которые "встречаются" в вершинах, была одинаковой — этот критерий реализуется через равенство сумм сторон, противоположных друг другу (например, у параллелограмма).

Вывод:
Это верное условие для многоугольника, вписывающего окружность. Утверждение верно.

2. В каждый треугольник можно вписать только одну окружность.

Это известное геометрическое свойство:
Теорема — В каждый треугольник можно вписать ровно одну окружность, которая касается всех трех сторон внутри. Такая окружность называется вписанной (инкругом).

Вывод:
Это утверждение — верное.

3. Не во всякий четырёхугольник можно вписать окружность.

Классический критерий:
а) Квадрат, ромб, параллелограмм и т.п. — это многоугольники с определенными свойствами.
б) Вписать окружность можно только в так называемый циклический четырёхугольник — такой, у которого сумма длин противоположных сторон равна.
в) Вписать окружность можно только в четырёхугольник, у которого сумма длин противоположных сторон равна (это называется многоугольник с вписанной окружностью или арифметический четырёхугольник).

Следовательно, не все четырёхугольники допускают вписывание окружности — только те, у которых сумма противоположных сторон одинаковая.

Вывод:
Это утверждение — верное.

Итог:

Верные утверждения:

• Если суммы соседних сторон выпуклого многоугольника равны, то в него можно вписать окружность.
• В каждый треугольник можно вписать только одну окружность.
• Не во всякий четырёхугольник можно вписать окружность.

Если нужно, я подготовлю более подробные объяснения или примеры!