Алексей приобрёл ценную бумагу за 8 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 1 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на…

Давайте carefully разберём задачу и найдем оптимальный момент для продажи бумаги, чтобы сумма на банковском счёте была максимальной через 25 лет после покупки.

Дано:

• Цена бумаги при покупке: \( P_0 = 8000 \) рублей.
• Каждогодний рост цены бумаги: +1000 рублей.
• Если Алексей продаёт бумагу в год \(k\), он получает сумму: \( P_k = 8000 + 1000k \).
• После продажи сумма переводится на банковский счёт.
• Каждогодичный прирост суммы на счёте — 8%.
• Нужно найти такой год \(k\), чтобы сумма на счёте через 25 лет после покупки была максимальной.

---

Шаг 1: Определение схемы накопления на счёте

Если Алексей продаёт бумагу в год \(k\), то:

• Он получает сумму \( P_k = 8000 + 1000k \).
• Эта сумма остаётся на счёте на оставшиеся годы (от \(k\) до 25-го года).
• За каждый из этих лет сумма увеличивается на 8%.

То есть, если он продаёт бумагу в год \(k\), то:

\[ S_k = P_k \times (1 + 0.08)^{25 - k} \]

где:

• \( P_k = 8000 + 1000k \),
• \( 25 - k \) — количество лет, оставшихся до 25-го года включительно.

---

Шаг 2: Запись функции для суммы

Полную формулу:

\[ S_k = (8000 + 1000k) \times (1.08)^{25 - k} \]

Нам нужно найти \(k\) (от 0 до 25), чтобы \(S_k\) было максимально.

---

Шаг 3: Поиск оптимального \(k\)

Рассмотрим функцию:

\[ S(k) = (8000 + 1000k) \times (1.08)^{25 - k} \]

Это функция от целого числа \(k\), где \(k\) — это год продажи (от 0 до 25).

Чтобы найти максимум, можно проверить значения для всех \(k\) или найти максимум аналитически.

---

Шаг 4: Аналитический анализ

Рассмотрим функцию:

\[ S(k) = (8000 + 1000k) \times (1.08)^{25 - k} \]

или

\[ S(k) = (8000 + 1000k) \times \frac{(1.08)^{25}}{(1.08)^k} \]

Обозначим:

\[ C = (1.08)^{25} \]

Тогда:

\[ S(k) = (8000 + 1000k) \times \frac{C}{(1.08)^k} \]

Или:

\[ S(k) = (8000 + 1000k) \times C \times (1.08)^{-k} \]

Так как \(C\) — постоянное число, при сравнении значений \(S(k)\) можно игнорировать его, ищя максимум функции:

\[ f(k) = (8000 + 1000k) \times (1.08)^{-k} \]

---

Шаг 5: Исследование функции \(f(k)\)

Рассмотрим:

\[ f(k) = (8000 + 1000k) \times (1.08)^{-k} \]

или

\[ f(k) = (8000 + 1000k) \times \frac{1}{(1.08)^k} \]

Чтобы найти максимум, возьмём производную по \(k\) (здесь \(k\) — целое, так что проверим несколько ближних значений):

\[ f(k) = (8000 + 1000k) \times (1.08)^{-k} \]

Проверка целых значений \(k\)

• Для \(k = 0\):

\[ f(0) = 8000 \times 1 = 8000 \]

• Для \(k = 1\):

\[ f(1) = (8000 + 1000) \times (1.08)^{-1} \approx 9000 \times 0.9259 \approx 8333 \]

• Для \(k = 2\):

\[ f(2) = (8000 + 2000) \times (1.08)^{-2} = 10000 \times 0.8573 \approx 8573 \]

• Для \(k = 3\):

\[ f(3) = (8000 + 3000) \times (1.08)^{-3} = 11000 \times 0.7938 \approx 8732 \]

• Для \(k = 4\):

\[ f(4) = 12000 \times 0.7350 \approx 8820 \]

• Для \(k = 5\):

\[ f(5) = 13000 \times 0.6806 \approx 8847 \]

• Для \(k = 6\):

\[ f(6) = 14000 \times 0.6302 \approx 8823 \]

После этого значения начинают уменьшаться. Значит, максимум достигается примерно при \(k = 5\).

Итог: Оптимальный \(k\) — это примерно 5-й год, то есть через 5 лет после покупки.

---

Ответ:

Алексей должен продать ценную бумагу примерно через 5 лет после покупки, чтобы сумма на счёте через 25 лет была максимальной.