Алексей приобрёл ценную бумагу за 8 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 1 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 8%. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через двадцать пять лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?

Давайте carefully разберём задачу и найдем оптимальный момент для продажи бумаги, чтобы сумма на банковском счёте была максимальной через 25 лет после покупки. ### Дано: - Цена бумаги при покупке: \( P_0 = 8000 \) рублей. - Каждогодний рост цены бумаги: +1000 рублей. - Если Алексей продаёт бумагу в год \(k\), он получает сумму: \( P_k = 8000 + 1000k \). - После продажи сумма переводится на банковский счёт. - Каждогодичный прирост суммы на счёте — 8%. - Нужно найти такой год \(k\), чтобы сумма на счёте через 25 лет после покупки была максимальной. --- ### Шаг 1: Определение схемы накопления на счёте Если Алексей продаёт бумагу в год \(k\), то: - Он получает сумму \( P_k = 8000 + 1000k \). - Эта сумма остаётся на счёте на оставшиеся годы (от \(k\) до 25-го года). - За каждый из этих лет сумма увеличивается на 8%. То есть, если он продаёт бумагу в год \(k\), то: \[ S_k = P_k \times (1 + 0.08)^{25 - k} \] где: - \( P_k = 8000 + 1000k \), - \( 25 - k \) — количество лет, оставшихся до 25-го года включительно. --- ### Шаг 2: Запись функции для суммы Полную формулу: \[ S_k = (8000 + 1000k) \times (1.08)^{25 - k} \] Нам нужно найти \(k\) (от 0 до 25), чтобы \(S_k\) было максимально. --- ### Шаг 3: Поиск оптимального \(k\) Рассмотрим функцию: \[ S(k) = (8000 + 1000k) \times (1.08)^{25 - k} \] Это функция от целого числа \(k\), где \(k\) — это год продажи (от 0 до 25). Чтобы найти максимум, можно проверить значения для всех \(k\) или найти максимум аналитически. --- ### Шаг 4: Аналитический анализ Рассмотрим функцию: \[ S(k) = (8000 + 1000k) \times (1.08)^{25 - k} \] или \[ S(k) = (8000 + 1000k) \times \frac{(1.08)^{25}}{(1.08)^k} \] Обозначим: \[ C = (1.08)^{25} \] Тогда: \[ S(k) = (8000 + 1000k) \times \frac{C}{(1.08)^k} \] Или: \[ S(k) = (8000 + 1000k) \times C \times (1.08)^{-k} \] Так как \(C\) — постоянное число, при сравнении значений \(S(k)\) можно игнорировать его, ищя максимум функции: \[ f(k) = (8000 + 1000k) \times (1.08)^{-k} \] --- ### Шаг 5: Исследование функции \(f(k)\) Рассмотрим: \[ f(k) = (8000 + 1000k) \times (1.08)^{-k} \] или \[ f(k) = (8000 + 1000k) \times \frac{1}{(1.08)^k} \] Чтобы найти максимум, возьмём производную по \(k\) (здесь \(k\) — целое, так что проверим несколько ближних значений): \[ f(k) = (8000 + 1000k) \times (1.08)^{-k} \] ### Проверка целых значений \(k\) - Для \(k = 0\): \[ f(0) = 8000 \times 1 = 8000 \] - Для \(k = 1\): \[ f(1) = (8000 + 1000) \times (1.08)^{-1} \approx 9000 \times 0.9259 \approx 8333 \] - Для \(k = 2\): \[ f(2) = (8000 + 2000) \times (1.08)^{-2} = 10000 \times 0.8573 \approx 8573 \] - Для \(k = 3\): \[ f(3) = (8000 + 3000) \times (1.08)^{-3} = 11000 \times 0.7938 \approx 8732 \] - Для \(k = 4\): \[ f(4) = 12000 \times 0.7350 \approx 8820 \] - Для \(k = 5\): \[ f(5) = 13000 \times 0.6806 \approx 8847 \] - Для \(k = 6\): \[ f(6) = 14000 \times 0.6302 \approx 8823 \] После этого значения начинают уменьшаться. Значит, максимум достигается примерно при \(k = 5\). ### Итог: Оптимальный \(k\) — это примерно 5-й год, то есть через 5 лет после покупки. --- ### Ответ: **Алексей должен продать ценную бумагу примерно через 5 лет после покупки, чтобы сумма на счёте через 25 лет была максимальной.**