Алексей приобрёл ценную бумагу за 8 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 1 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на…
Алексей приобрёл ценную бумагу за 8 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 1 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 8%. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через двадцать пять лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?
Рассмотрим задачу поэтапно.
Дано:
- Начальная цена бумаги: \( P_0 = 8000 \) рублей.
- Цена бумаги увеличивается на 1000 рублей каждый год.
- Если Алексей продаёт бумагу в год \( n \), он получает сумму \( P_n = 8000 + 1000 \times n \).
- После продажи деньги кладутся на счёт, который накапливает 8% ежегодно.
- Нужно определить, в какой год после покупки (от 1-го до 25-го) Алексей должен продать бумагу, чтобы сумма на счёте — после 25 лет — была максимальной.
Шаг 1: Выразим сумму на счёте при продаже в год \( n \).
Если продажа происходит в год \( n \), то:
Алексей получает сумму \( P_n = 8000 + 1000 \times n \).
Он кладет деньги на счёт, после чего эти деньги ежегодно увеличиваются на 8%, начиная с следующего года после продажи, и так за каждый год до 25-го.
Общий результат накоплений через 25 лет, если продажа произошла в год \( n \):
\[ S(n) = P_n \times (1 + 0.08)^{25 - n} \]
Здесь:
- \( P_n \) — сумма, полученная при продаже в год \( n \).
- \( 25 - n \) — количество лет, в течение которых деньги накапливаются и прирастают на 8%.
Шаг 2: Запишем формулу.
\[ S(n) = (8000 + 1000n) \times (1.08)^{25 - n} \]
Нам нужно найти \( n \) (от 1 до 25), при котором \( S(n) \) максимально.
Шаг 3: Исследование функции \( S(n) \).
Чтобы понять, когда функция достигает максимума, рассмотрим её.
Поскольку \( n \) — целое число от 1 до 25, можно найти максимум путём перебора.
Шаг 4: Перебор значений.
Создадим таблицу для \( n = 1, 2, \ldots, 25 \).
| \( n \) | \( P_n = 8000 + 1000n \) | \( (1.08)^{25 - n} \) | \( S(n) \) |
|---|---|---|---|
| 1 | 9000 | \( (1.08)^{24} \) | ? |
| 2 | 10000 | \( (1.08)^{23} \) | ? |
| … | … | … | … |
| 25 | 33000 | \( (1.08)^0 = 1 \) | ? |
Шаг 5: Расчёты приблизительных значений.
Используем приближения для степени:
\[ (1.08)^k \approx e^{k \times \ln(1.08)} \]
где \( \ln(1.08) \approx 0.07696 \).
Пример для \( n=1 \):
\[ (1.08)^{24} \approx e^{24 \times 0.07696} = e^{1.847} \approx 6.34 \]
тогда:
\[ S(1) \approx 9000 \times 6.34 = 57,060 \]
Для \( n=2 \):
\[ (1.08)^{23} \approx e^{23 \times 0.07696} = e^{1.772} \approx 5.88 \]
\[ S(2) \approx 10,000 \times 5.88 = 58,800 \]
Продолжим для нескольких значений:
| \( n \) | \( P_n \) | \( 25 - n \) | Экспонента | \( (1.08)^{25 - n} \) | \( S(n) \) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 9000 | 24 | \( e^{24 \times 0.07696} \approx 6.34 \) | 6.34 | 9000 × 6.34 ≈ 57,060 |
| 2 | 10000 | 23 | \( e^{1.772} \approx 5.88 \) | 5.88 | 58,800 |
| 3 | 11000 | 22 | \( e^{1.696} \approx 5.44 \) | 5.44 | 11,000 × 5.44 ≈ 59,840 |
| 4 | 12000 | 21 | \( e^{1.62} \approx 5.05 \) | 5.05 | 12000 × 5.05 ≈ 60,600 |
| 5 | 13000 | 20 | \( e^{1.54} \approx 4.67 \) | 4.67 | 13000 × 4.67 ≈ 60,710 |
| 6 | 14000 | 19 | \( e^{1.46} \approx 4.3 \) | 4.3 | 14000 × 4.3 ≈ 60,200 |
| 7 | 15000 | 18 | \( e^{1.39} \approx 4.00 \) | 4.00 | 15000 × 4.00 ≈ 60,000 |
| 8 | 16000 | 17 | \( e^{1.31} \approx 3.7 \) | 3.7 | 16000 × 3.7 ≈ 59,200 |
| 9 | 17000 | 16 | \( e^{1.24} \approx 3.45 \) | 3.45 | 17000 × 3.45 ≈ 58,650 |
| 10 | 18000 | 15 | \( e^{1.15} \approx 3.16 \) | 3.16 | 18000 × 3.16 ≈ 56,880 |
| 11 | 19000 | 14 | \( e^{1.07} \approx 2.91 \) | 2.91 | 19000 × 2.91 ≈ 55,290 |
| 12 | 20000 | 13 | \( e^{0.99} \approx 2.69 \) | 2.69 | 20000 × 2.69 ≈ 53,800 |
| 13 | 21000 | 12 | \( e^{0.90} \approx 2.46 \) | 2.46 | 21000 × 2.46 ≈ 51,660 |
| 14 | 22000 | 11 | \( e^{0.82} \approx 2.27 \) | 2.27 | 22000 × 2.27 ≈ 49,940 |
| 15 | 23000 | 10 | \( e^{0.73} \approx 2.08 \) | 2.08 | 23000 × 2.08 ≈ 47,840 |
| 16 | 24000 | 9 | \( e^{0.65} \approx 1.92 \) | 1.92 | 24000 × 1.92 ≈ 46,080 |
| 17 | 25000 | 8 | \( e^{0.58} \approx 1.78 \) | 1.78 | 25000 × 1.78 ≈ 44,500 |
| 18 | 26000 | 7 | \( e^{0.49} \approx 1.63 \) | 1.63 | 26000 × 1.63 ≈ 42,380 |
| 19 | 27000 | 6 | \( e^{0.39} \approx 1.48 \) | 1.48 | 27000 × 1.48 ≈ 39,960 |
| 20 | 28000 | 5 | \( e^{0.29} \approx 1.34 \) | 1.34 | 28000 × 1.34 ≈ 37,520 |
| 21 | 29000 | 4 | \( e^{0.19} \approx 1.21 \) | 1.21 | 29000 × 1.21 ≈ 35,090 |
| 22 | 30000 | 3 | \( e^{0.11} \approx 1.12 \) | 1.12 | 30000 × 1.12 ≈ 33,600 |
| 23 | 31000 | 2 | \( e^{0.02} \approx 1.02 \) | 1.02 | 31000 × 1.02 ≈ 31,620 |
| 24 | 32000 | 1 | \( e^{0.00} = 1 \) | 1 | 32000 × 1 ≈ 32,000 |
| 25 | 33000 | 0 | \( (1.08)^0 = 1 \) | 1 | 33,000 × 1 = 33,000 |
Вывод:
Максимум \( S(n) \) достигается примерно при \( n=4 \) — продаже на 4-м году, так как \( S(4) \approx 60,600 \) рублей, что больше значений за остальные годы.
Итог:
Алексей должен продать бумагу на 4-м году после покупки, чтобы через 25 лет сумма на счёте была максимально возможной.
