Алексей приобрёл ценную бумагу за 8 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 1 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 8%. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через двадцать пять лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?

Рассмотрим задачу поэтапно. **Дано:** - Начальная цена бумаги: \( P_0 = 8000 \) рублей. - Цена бумаги увеличивается на 1000 рублей каждый год. - Если Алексей продаёт бумагу в год \( n \), он получает сумму \( P_n = 8000 + 1000 \times n \). - После продажи деньги кладутся на счёт, который накапливает 8% ежегодно. - Нужно определить, в какой год после покупки (от 1-го до 25-го) Алексей должен продать бумагу, чтобы сумма на счёте — после 25 лет — была максимальной. --- ### Шаг 1: Выразим сумму на счёте при продаже в год \( n \). Если продажа происходит в год \( n \), то: - Алексей получает сумму \( P_n = 8000 + 1000 \times n \). - Он кладет деньги на счёт, после чего эти деньги ежегодно увеличиваются на 8%, начиная с следующего года после продажи, и так за каждый год до 25-го. Общий результат накоплений через 25 лет, если продажа произошла в год \( n \): \[ S(n) = P_n \times (1 + 0.08)^{25 - n} \] Здесь: - \( P_n \) — сумма, полученная при продаже в год \( n \). - \( 25 - n \) — количество лет, в течение которых деньги накапливаются и прирастают на 8%. --- ### Шаг 2: Запишем формулу. \[ S(n) = (8000 + 1000n) \times (1.08)^{25 - n} \] Нам нужно найти \( n \) (от 1 до 25), при котором \( S(n) \) максимально. --- ### Шаг 3: Исследование функции \( S(n) \). Чтобы понять, когда функция достигает максимума, рассмотрим её. Поскольку \( n \) — целое число от 1 до 25, можно найти максимум путём перебора. --- ### Шаг 4: Перебор значений. Создадим таблицу для \( n = 1, 2, \ldots, 25 \). | \( n \) | \( P_n = 8000 + 1000n \) | \( (1.08)^{25 - n} \) | \( S(n) \) | |---------|-----------------------|------------------------|------------| | 1 | 9000 | \( (1.08)^{24} \) | ? | | 2 | 10000 | \( (1.08)^{23} \) | ? | | … | … | … | … | | 25 | 33000 | \( (1.08)^0 = 1 \) | ? | --- ### Шаг 5: Расчёты приблизительных значений. Используем приближения для степени: \[ (1.08)^k \approx e^{k \times \ln(1.08)} \] где \( \ln(1.08) \approx 0.07696 \). Пример для \( n=1 \): \[ (1.08)^{24} \approx e^{24 \times 0.07696} = e^{1.847} \approx 6.34 \] тогда: \[ S(1) \approx 9000 \times 6.34 = 57,060 \] Для \( n=2 \): \[ (1.08)^{23} \approx e^{23 \times 0.07696} = e^{1.772} \approx 5.88 \] \[ S(2) \approx 10,000 \times 5.88 = 58,800 \] Продолжим для нескольких значений: | \( n \) | \( P_n \) | \( 25 - n \) | Экспонента | \( (1.08)^{25 - n} \) | \( S(n) \) | |---------|------------|--------------|--------------|---------------------|--------------| | 1 | 9000 | 24 | \( e^{24 \times 0.07696} \approx 6.34 \) | 6.34 | 9000 × 6.34 ≈ 57,060 | | 2 | 10000 | 23 | \( e^{1.772} \approx 5.88 \) | 5.88 | 58,800 | | 3 | 11000 | 22 | \( e^{1.696} \approx 5.44 \) | 5.44 | 11,000 × 5.44 ≈ 59,840 | | 4 | 12000 | 21 | \( e^{1.62} \approx 5.05 \) | 5.05 | 12000 × 5.05 ≈ 60,600 | | 5 | 13000 | 20 | \( e^{1.54} \approx 4.67 \) | 4.67 | 13000 × 4.67 ≈ 60,710 | | 6 | 14000 | 19 | \( e^{1.46} \approx 4.3 \) | 4.3 | 14000 × 4.3 ≈ 60,200 | | 7 | 15000 | 18 | \( e^{1.39} \approx 4.00 \) | 4.00 | 15000 × 4.00 ≈ 60,000 | | 8 | 16000 | 17 | \( e^{1.31} \approx 3.7 \) | 3.7 | 16000 × 3.7 ≈ 59,200 | | 9 | 17000 | 16 | \( e^{1.24} \approx 3.45 \) | 3.45 | 17000 × 3.45 ≈ 58,650 | | 10 | 18000 | 15 | \( e^{1.15} \approx 3.16 \) | 3.16 | 18000 × 3.16 ≈ 56,880 | | 11 | 19000 | 14 | \( e^{1.07} \approx 2.91 \) | 2.91 | 19000 × 2.91 ≈ 55,290 | | 12 | 20000 | 13 | \( e^{0.99} \approx 2.69 \) | 2.69 | 20000 × 2.69 ≈ 53,800 | | 13 | 21000 | 12 | \( e^{0.90} \approx 2.46 \) | 2.46 | 21000 × 2.46 ≈ 51,660 | | 14 | 22000 | 11 | \( e^{0.82} \approx 2.27 \) | 2.27 | 22000 × 2.27 ≈ 49,940 | | 15 | 23000 | 10 | \( e^{0.73} \approx 2.08 \) | 2.08 | 23000 × 2.08 ≈ 47,840 | | 16 | 24000 | 9 | \( e^{0.65} \approx 1.92 \) | 1.92 | 24000 × 1.92 ≈ 46,080 | | 17 | 25000 | 8 | \( e^{0.58} \approx 1.78 \) | 1.78 | 25000 × 1.78 ≈ 44,500 | | 18 | 26000 | 7 | \( e^{0.49} \approx 1.63 \) | 1.63 | 26000 × 1.63 ≈ 42,380 | | 19 | 27000 | 6 | \( e^{0.39} \approx 1.48 \) | 1.48 | 27000 × 1.48 ≈ 39,960 | | 20 | 28000 | 5 | \( e^{0.29} \approx 1.34 \) | 1.34 | 28000 × 1.34 ≈ 37,520 | | 21 | 29000 | 4 | \( e^{0.19} \approx 1.21 \) | 1.21 | 29000 × 1.21 ≈ 35,090 | | 22 | 30000 | 3 | \( e^{0.11} \approx 1.12 \) | 1.12 | 30000 × 1.12 ≈ 33,600 | | 23 | 31000 | 2 | \( e^{0.02} \approx 1.02 \) | 1.02 | 31000 × 1.02 ≈ 31,620 | | 24 | 32000 | 1 | \( e^{0.00} = 1 \) | 1 | 32000 × 1 ≈ 32,000 | | 25 | 33000 | 0 | \( (1.08)^0 = 1 \) | 1 | 33,000 × 1 = 33,000 | --- ### **Вывод:** Максимум \( S(n) \) достигается примерно при \( n=4 \) — продаже на 4-м году, так как \( S(4) \approx 60,600 \) рублей, что больше значений за остальные годы. --- ## Итог: **Алексей должен продать бумагу на 4-м году после покупки**, чтобы через 25 лет сумма на счёте была максимально возможной.