Давайте подробно разберем задачу, чтобы понять, как движется тело, и как найти искомые показатели.
Шаг 1. Анализ закона движения
Задан закон движения тела:
[
x(t) = 5 - t + 2t^2
]
где:
- ( x(t) ) — координата тела в моменты времени ( t ),
- ( t ) — время в секундах.
Шаг 2. Нахождение координаты через 3 секунды
Подставляем ( t = 3 ) в уравнение:
[
x(3) = 5 - 3 + 2 \times 3^2
]
Вычислим поэтапно:
[
3^2 = 9
]
тогда:
[
x(3) = 5 - 3 + 2 \times 9
]
[
x(3) = 5 - 3 + 18
]
[
x(3) = (5 - 3) + 18 = 2 + 18 = 20
]
Ответ: координата через 3 секунды составляет ( \boxed{20} ) единиц.
Шаг 3. Нахождение скорости движения
Скорость — это первая производная координаты по времени:
[
v(t) = \frac{dx}{dt}
]
Вычислим производную функции ( x(t) ):
[
x(t) = 5 - t + 2t^2
]
Производная:
[
v(t) = 0 - 1 + 4t = 4t - 1
]
Ответ: функция скорости — (\boxed{v(t) = 4t - 1}).
Шаг 4. Значение скорости через 3 секунды
Подставим ( t=3 ):
[
v(3) = 4 \times 3 - 1 = 12 - 1 = 11
]
Ответ: скорость через 3 секунды равна ( \boxed{11} ) единиц.
Шаг 5. Построение графика зависимости скорости от времени
График функции:
[
v(t) = 4t - 1
]
- Это линейная функция с наклоном 4 и сдвигом по оси ( v ) на -1.
- Он пересекает ось ( v ), когда ( v(t) = 0 ):
[
0 = 4t - 1 \Rightarrow t = \frac{1}{4} = 0.25 \text{ секунд}
]
График — прямая, проходящая через точку ((0.25, 0)), с наклоном вверх.
Итоговые ответы:
- Координата через 3 секунды: 20
- Скорость через 3 секунды: 11
- График зависимости скорости от времени: прямая (v(t) = 4t - 1), возрастает с наклоном 4, пересекает ось (v) в точке (t=0.25).
Если нужно, я могу помочь построить этот график или дополнительно объяснить любые шаги!
