Отношения радиусов окружности равно 2:5 Каковы их длины если одной из окружностей на 12 дм больше длинны другой
Давайте разберемся с задачей пошагово.
Задача:
Даны две окружности. Их радиусы в отношении 2:5. Одна из окружностей длиннее другой на 12 дм. Нужно найти длины обеих окружностей.
Шаг 1. Обозначим переменные
Обозначим радиусы двух окружностей:
- Радиус первой — \( r_1 \)
- Радиус второй — \( r_2 \)
По условию, отношение радиусов:
\[ r_1 : r_2 = 2 : 5 \]
Обозначим:
\[ r_1 = 2k \]
\[ r_2 = 5k \]
где \(k\) — общий множитель.
Шаг 2. Формулы длины окружности
Длина окружности рассчитывается по формуле:
\[ L = 2 \pi r \]
Тогда длины двух окружностей:
\[ L_1 = 2 \pi r_1 = 2 \pi (2k) = 4 \pi k \]
\[ L_2 = 2 \pi r_2 = 2 \pi (5k) = 10 \pi k \]
Шаг 3. Используем условие о разнице длин
Одна из окружностей длиннее другой на 12 дм. Пусть:
- \( L_2 \) — длина большей окружности (так как радиус больше)
Тогда:
\[ L_2 - L_1 = 12 \]
Подставим выражения для длин:
\[ 10 \pi k - 4 \pi k = 12 \]
Вычитаем:
\[ (10 \pi k - 4 \pi k) = 6 \pi k \]
Значит:
\[ 6 \pi k = 12 \]
Шаг 4. Решение уравнения
Найдем \(k\):
\[ 6 \pi k = 12 \]
Разделим обе части на \(6 \pi\):
\[ k = \frac{12}{6 \pi} = \frac{2}{\pi} \]
Шаг 5. Находим радиусы
Теперь можем найти радиусы:
\[ r_1 = 2k = 2 \times \frac{2}{\pi} = \frac{4}{\pi} \]
\[ r_2 = 5k = 5 \times \frac{2}{\pi} = \frac{10}{\pi} \]
Шаг 6. Находим длины окружностей
Подставим \(k = \frac{2}{\pi}\):
Длина первой окружности:
\[ L_1 = 4 \pi k = 4 \pi \times \frac{2}{\pi} = 4 \times 2 = 8\, \text{дм} \]Длина второй окружности:
\[ L_2 = 10 \pi k = 10 \pi \times \frac{2}{\pi} = 10 \times 2 = 20\, \text{дм} \]
Проверка: разница длин: \(20 - 8 = 12\, \textм\), что соответствует условию.
Итог:
- Радиус первой окружности: \(\frac{4}{\pi}\) дм (примерно 1,27 дм)
- Радиус второй окружности: \(\frac{10}{\pi}\) дм (примерно 3,18 дм)
- Длина первой окружности: 8 дм
- Длина второй окружности: 20 дм
Если есть еще вопросы или нужно что-то уточнить, пишите!
