Выполнить 1е задание по высшей математике

Хорошо, давайте вместе разберемся с этой задачей. На картинке у нас есть работа по высшей математике и нужно выполнить первое задание. Заглянем поближе на условие задания.

Задание номер пять посвящено собственным векторам матрицы. Нам дана матрица \( A \) и требуется найти собственный вектор, соответствующий собственному значению \( \lambda = 1 \).

Итак, нам нужно решить матричное уравнение вида \( A \vec{x} = \lambda \vec{x} \), где \( \vec{x} \) - искомый собственный вектор. При данном собственном значении уравнение приобретает вид \( A \vec{x} = \vec{x} \).

Давайте запишем это уравнение, используя элементы исходной матрицы \( A \):

\[ A = \begin{pmatrix} 9 & 7 & 6 \\ -7 & 6 & -4 \\ -6 & -4 & -3 \end{pmatrix} \]

Для того, чтобы найти собственный вектор, нужно решить уравнение \( (A - \lambda E) \vec{x} = 0 \):

\[ \begin{pmatrix} 9 & 7 & 6 \\ -7 & 6 & -4 \\ -6 & -4 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \]

То есть, получим систему уравнений, вычитая из каждого элемента матрицы \( A \) единицу (потому что ( \lambda = 1 \