дана функция f(x) =1/3x³ - 1/2 x²+3x используя определение производной найти f’(x)

Рассмотрим функцию \( f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 3x \). Нам нужно найти производную \( f'(x) \) по определению производной.

Шаг 1: Напоминание о определении производной

Производная функции \( f(x) \) в точке \( x \) по определению равна:

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]

Это означает, что мы должны выразить \( f(x+h) \), найти разность \( f(x+h) - f(x) \), разделить на \( h \) и взять предел при \( h \to 0 \).

---

Шаг 2: Вычисление \( f(x+h) \)

Подставляем \( x+h \) вместо \( x \):

\[ f(x+h) = \frac{1}{3}(x+h)^3 - \frac{1}{2}(x+h)^2 + 3(x+h) \]

Рассчитаем каждую часть отдельно.

1. \( (x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 \) (по биному Ньютона)
2. \( (x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2 \)

Теперь подставим в \( f(x+h) \):

\[ f(x+h) = \frac{1}{3}(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3) - \frac{1}{2}(x^2 + 2xh + h^2) + 3(x+h) \]

Распределим коэффициенты:

\[ f(x+h) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{3} \cdot 3x^2h + \frac{1}{3} \cdot 3xh^2 + \frac{1}{3}h^3 - \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2} \cdot 2xh - \frac{1}{2}h^2 + 3x + 3h \]

Упростим каждую часть:

\[ f(x+h) = \frac{1}{3}x^3 + x^2 h + x h^2 + \frac{1}{3}h^3 - \frac{1}{2}x^2 - xh - \frac{1}{2}h^2 + 3x + 3h \]

---

Шаг 3: Вычисление разности \( f(x+h) - f(x) \)

Изначально \( f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 3x \).

Вычитаем:

\[ f(x+h) - f(x) = \left( \frac{1}{3}x^3 + x^2 h + x h^2 + \frac{1}{3}h^3 - \frac{1}{2}x^2 - xh - \frac{1}{2}h^2 + 3x + 3h \right) - \left( \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 3x \right) \]

Теперь заметим, что некоторые части сокращаются:

• \( \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{3}x^3 = 0 \)
• \( - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x^2 = 0 \)
• \( 3x - 3x = 0 \)

Остаются:

\[ f(x+h) - f(x) = x^2 h + x h^2 + \frac{1}{3}h^3 - xh - \frac{1}{2}h^2 + 3h \]

Объединим подобные члены:

• \( x^2 h - xh = h(x^2 - x) \)
• \( x h^2 - \frac{1}{2}h^2 = h^2 (x - \frac{1}{2}) \)
• Остальные — \( \frac{1}{3}h^3 \) и \( 3h \)

Запишем итог:

\[ f(x+h) - f(x) = h(x^2 - x) + h^2 (x - \frac{1}{2}) + \frac{1}{3}h^3 + 3h \]

---

Шаг 4: Делю на \( h \) и берем предел при \( h \to 0 \)

Разделим всю expression на \( h \):

\[ \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = (x^2 - x) + h (x - \frac{1}{2}) + \frac{1}{3}h^2 + 3 \]

При \( h \to 0 \), все члены, содержащие \( h \), исчезают:

• \( h (x - \frac{1}{2}) \to 0 \)
• \( \frac{1}{3}h^2 \to 0 \)

Остается только:

\[ f'(x) = (x^2 - x) + 3 \]

Ответ:

\[ \boxed{f'(x) = x^2 - x + 3} \]

Это и есть производная функции \( f(x) \).