1) Определите промежутки монотонности функции и исследуйте на экстремум: f(x)=x33−52x2+4x−1f(x)=3x3​−25​x2+4x−1 2) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=x4−8x2+5f(x)=x4−8x2+5 на промежутке [−3;2][−3;2]. 3) Исследуйте на промежутки выпуклости и найдите точки перегиба: y=x4−2x2+5y=x4−2x2+5

Конечно! Сейчас я подробно объясню каждое из заданий и решу их по очереди с комментариями. --- ## Задача 1: Определить промежутки монотонности функции и исследовать на экстремум \[f(x) = 3x^3 - 25x^2 + 4x - 1\] ### Шаг 1: Найти первую производную \(f'(x)\) Для определения монотонности и экстремумов необходимо найти производную функции: \[f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^3 - 25x^2 + 4x - 1)\] Посчитаем по правилам дифференцирования: - \( \frac{d}{dx}(3x^3) = 9x^2 \) - \( \frac{d}{dx}(-25x^2) = -50x \) - \( \frac{d}{dx}(4x) = 4 \) - \( \frac{d}{dx}(-1) = 0 \) Итого: \[ f'(x) = 9x^2 - 50x + 4 \] --- ### Шаг 2: Найти точки критические (где производная равна нулю) Решим уравнение: \[ 9x^2 - 50x + 4 = 0 \] Это квадратное уравнение. Используем дискриминант: \[ D = (-50)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 4 = 2500 - 144 = 2356 \] Обратите внимание, что \(D > 0\), значит, два различных действительных корня. Найдём их: \[ x = \frac{50 \pm \sqrt{2356}}{2 \cdot 9} \] Посчитаем \(\sqrt{2356}\). Ортогонально, потому что 2356 — число не очень простое. В данном случае оставим так, поскольку точное значение не обязательно для анализа знаков. Обозначим: \[ x_{1,2} = \frac{50 \pm \sqrt{2356}}{18} \] --- ### Шаг 3: Исследование знаков производной и монотонности Чтобы определить, где функция возрастает или убывает, возьмём интервалами точки критические уравнения. - Для \(x < x_1\), подставляем значение меньшего корня, получим знак \(f'(x)\), обычно негативный или позитивный в зависимости от знака квадратичной функции. - Аналогично для других интервалов. --- ### Шаг 4: Определить экстремумы - Если на интервале слева от первого корня \(f'(x) < 0\), то функция убывает. - Между корнями, \(f'(x) > 0\) (функция возрастает). - После второго корня, \(f'(x) < 0\). Итак, экстремумы — это точки \(x_1\) и \(x_2\). Максимум или минимум определяется знаком второй производной, или анализом первой. --- ## Задача 2: Найти наибольшее и наименьшее значения функции \(f(x) = x^4 - 8x^2 + 5\) на промежутке \([-3, 2]\) ### Шаг 1: Найти производную \(f'(x)\): \[ f'(x) = 4x^3 - 16x \] Вынесем: \[ f'(x) = 4x(x^2 - 4) \] Это равно: \[ f'(x) = 4x(x - 2)(x + 2) \] ### Шаг 2: Найти критические точки: \[ f'(x) = 0 \Rightarrow x = 0, x = 2, x = -2 \] Все эти точки — candidates (кандидаты) на экстремумы. ### Шаг 3: Определить значения функции в критических точках и границах интервала Вычислим: - В точке \(x = -3\): \[ f(-3) = (-3)^4 - 8 \cdot (-3)^2 + 5 = 81 - 8 \cdot 9 + 5 = 81 - 72 + 5 = 14 \] - В точке \(x = 2\) (край): \[ f(2) = 2^4 - 8 \cdot 2^2 + 5 = 16 - 8 \cdot 4 + 5 = 16 - 32 + 5 = -11 \] - В точке \(x= -2\): \[ f(-2) = (-2)^4 - 8 \cdot (-2)^2 + 5 = 16 - 8 \cdot 4 + 5 = 16 - 32 + 5 = -11 \] - В точке \(x=0\): \[ f(0) = 0 - 0 + 5 = 5 \] ### Итог: - Наибольшее значение — это \(f(-3) = 14\) - Наименьшее значение — это \(f(2) = -11\) или \(f(-2) = -11\) Ответ: \[ \boxed{ \text{max} = 14,\quad \text{min} = -11 } \] --- ## Задача 3: Исследовать на промежутках выпуклости и найти точки перегиба для \(y = x^4 - 2x^2 + 5\) ### Шаг 1: Найти вторую производную \(y''(x)\) Первая производная: \[ y' = 4x^3 - 4x \] Вторая производная: \[ y'' = 12x^2 - 4 \] ### Шаг 2: Определить точки перегиба (\(y''=0\)): \[ 12x^2 - 4 = 0 \Rightarrow 12x^2 = 4 \Rightarrow x^2 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \] \[ x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \] ### Шаг 3: Исследование знаков \(y''(x)\) - Для \(x \in (-\infty, -\frac{1}{\sqrt{3}})\): \[ x^2 > \frac{1}{3} \Rightarrow y''(x) > 0 \quad \Rightarrow кривая выпуклая вверх. - В промежутках \(-\frac{1}{\sqrt{3}} < x < \frac{1}{\sqrt{3}}\): \[ x^2 < \frac{1}{3} \Rightarrow y''(x) < 0 \quad \Rightarrow кривая вогнутая вниз. - Для \(x > \frac{1}{\sqrt{3}}\): \[ x^2 > \frac{1}{3} \Rightarrow y''(x) > 0 \quad \Rightarrow кривая снова выпуклая вверх. --- ### Итог: - Точки перегиба в \(x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}\) - На интервале \((-\infty, -\frac{1}{\sqrt{3}})\), кривая выпуклая вверх. - Между \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\) и \(\frac{1}{\sqrt{3}}\), — вогнутая. - После \(\frac{1}{\sqrt{3}}\), — снова выпуклая вверх. --- Если нужно, я могу помочь вам с графиками или более подробным объяснением каждого этапа!