1) Определите промежутки монотонности функции и исследуйте на экстремум: f(x)=x33−52x2+4x−1f(x)=3x3−25x2+4x−1 2) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции…
1) Определите промежутки монотонности функции и исследуйте на экстремум: f(x)=x33−52x2+4x−1f(x)=3x3−25x2+4x−1 2) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=x4−8x2+5f(x)=x4−8x2+5 на промежутке [−3;2][−3;2]. 3) Исследуйте на промежутки выпуклости и найдите точки перегиба: y=x4−2x2+5y=x4−2x2+5
Конечно! Сейчас я подробно объясню каждое из заданий и решу их по очереди с комментариями.
Задача 1: Определить промежутки монотонности функции и исследовать на экстремум
\[f(x) = 3x^3 - 25x^2 + 4x - 1\]
Шаг 1: Найти первую производную \(f'(x)\)
Для определения монотонности и экстремумов необходимо найти производную функции:
\[f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^3 - 25x^2 + 4x - 1)\]
Посчитаем по правилам дифференцирования:
- \( \frac{d}{dx}(3x^3) = 9x^2 \)
- \( \frac{d}{dx}(-25x^2) = -50x \)
- \( \frac{d}{dx}(4x) = 4 \)
- \( \frac{d}{dx}(-1) = 0 \)
Итого:
\[ f'(x) = 9x^2 - 50x + 4 \]
Шаг 2: Найти точки критические (где производная равна нулю)
Решим уравнение:
\[ 9x^2 - 50x + 4 = 0 \]
Это квадратное уравнение. Используем дискриминант:
\[ D = (-50)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 4 = 2500 - 144 = 2356 \]
Обратите внимание, что \(D > 0\), значит, два различных действительных корня.
Найдём их:
\[ x = \frac{50 \pm \sqrt{2356}}{2 \cdot 9} \]
Посчитаем \(\sqrt{2356}\). Ортогонально, потому что 2356 — число не очень простое. В данном случае оставим так, поскольку точное значение не обязательно для анализа знаков.
Обозначим:
\[ x_{1,2} = \frac{50 \pm \sqrt{2356}}{18} \]
Шаг 3: Исследование знаков производной и монотонности
Чтобы определить, где функция возрастает или убывает, возьмём интервалами точки критические уравнения.
Для \(x < x_1\), подставляем значение меньшего корня, получим знак \(f'(x)\), обычно негативный или позитивный в зависимости от знака квадратичной функции.
Аналогично для других интервалов.
Шаг 4: Определить экстремумы
- Если на интервале слева от первого корня \(f'(x) < 0\), то функция убывает.
- Между корнями, \(f'(x) > 0\) (функция возрастает).
- После второго корня, \(f'(x) < 0\).
Итак, экстремумы — это точки \(x_1\) и \(x_2\). Максимум или минимум определяется знаком второй производной, или анализом первой.
Задача 2: Найти наибольшее и наименьшее значения функции \(f(x) = x^4 - 8x^2 + 5\) на промежутке \([-3, 2]\)
Шаг 1: Найти производную \(f'(x)\):
\[ f'(x) = 4x^3 - 16x \]
Вынесем:
\[ f'(x) = 4x(x^2 - 4) \]
Это равно:
\[ f'(x) = 4x(x - 2)(x + 2) \]
Шаг 2: Найти критические точки:
\[ f'(x) = 0 \Rightarrow x = 0, x = 2, x = -2 \]
Все эти точки — candidates (кандидаты) на экстремумы.
Шаг 3: Определить значения функции в критических точках и границах интервала
Вычислим:
- В точке \(x = -3\):
\[ f(-3) = (-3)^4 - 8 \cdot (-3)^2 + 5 = 81 - 8 \cdot 9 + 5 = 81 - 72 + 5 = 14 \]
- В точке \(x = 2\) (край):
\[ f(2) = 2^4 - 8 \cdot 2^2 + 5 = 16 - 8 \cdot 4 + 5 = 16 - 32 + 5 = -11 \]
- В точке \(x= -2\):
\[ f(-2) = (-2)^4 - 8 \cdot (-2)^2 + 5 = 16 - 8 \cdot 4 + 5 = 16 - 32 + 5 = -11 \]
- В точке \(x=0\):
\[ f(0) = 0 - 0 + 5 = 5 \]
Итог:
- Наибольшее значение — это \(f(-3) = 14\)
- Наименьшее значение — это \(f(2) = -11\) или \(f(-2) = -11\)
Ответ:
\[
\boxed{
\text{max} = 14,\quad \text{min} = -11
}
\]
Задача 3: Исследовать на промежутках выпуклости и найти точки перегиба для \(y = x^4 - 2x^2 + 5\)
Шаг 1: Найти вторую производную \(y''(x)\)
Первая производная:
\[ y' = 4x^3 - 4x \]
Вторая производная:
\[ y'' = 12x^2 - 4 \]
Шаг 2: Определить точки перегиба (\(y''=0\)):
\[ 12x^2 - 4 = 0 \Rightarrow 12x^2 = 4 \Rightarrow x^2 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \]
\[ x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \]
Шаг 3: Исследование знаков \(y''(x)\)
- Для \(x \in (-\infty, -\frac{1}{\sqrt{3}})\):
[ x^2 > \frac{1}{3} \Rightarrow y''(x) > 0 \quad \Rightarrow кривая выпуклая вверх.
- В промежутках \(-\frac{1}{\sqrt{3}} < x < \frac{1}{\sqrt{3}}\):
[ x^2 < \frac{1}{3} \Rightarrow y''(x) < 0 \quad \Rightarrow кривая вогнутая вниз.
- Для \(x > \frac{1}{\sqrt{3}}\):
[ x^2 > \frac{1}{3} \Rightarrow y''(x) > 0 \quad \Rightarrow кривая снова выпуклая вверх.
Итог:
- Точки перегиба в \(x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}\)
- На интервале \((-\infty, -\frac{1}{\sqrt{3}})\), кривая выпуклая вверх.
- Между \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\) и \(\frac{1}{\sqrt{3}}\), — вогнутая.
- После \(\frac{1}{\sqrt{3}}\), — снова выпуклая вверх.
Если нужно, я могу помочь вам с графиками или более подробным объяснением каждого этапа!
