:1). Определите промежутки монотонности функции и исследуйте на экстремум:$f(x)=\frac {x^{3}}{3}-\frac {5}{2}x^{2}+4x-1$ 2)Найдите наибольшее и наименьшее значение функции…
:1). Определите промежутки монотонности функции и исследуйте на экстремум:$f(x)=\frac {x^{3}}{3}-\frac {5}{2}x^{2}+4x-1$ 2)Найдите наибольшее и наименьшее значение функции $f(x)=x^{4}-8x^{2}+5$ на промежутке $[-3;2]$ 3). исследовать на промежутки выпуклости и найти точки перегиба: $y=x^{4}-2x^{2}+5$
Конечно! Ниже приведены подробные решения всех трёх задач с объяснениями.
Задача 1: Определить промежутки монотонности функции и исследовать на экстремум
Функция:
\[f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{5}{2}x^2 + 4x - 1\]
Шаг 1: Найдём первую производную \(f'(x)\)
Чтобы найти промежутки возрастания и убывания, ищем знак производной:
\[f'(x) = \frac{d}{dx} \left(\frac{x^3}{3} - \frac{5}{2}x^2 + 4x - 1\right)\]
Вычислим:
\[f'(x) = x^2 - 5x + 4\]
Шаг 2: Найдём критические точки (где \(f'(x) = 0\))
Решим уравнение:
\[x^2 - 5x + 4 = 0\]
Дискриминант:
\[\Delta = 25 - 16 = 9\]
Корни:
\[x = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2}\]
Получаем два критических значения:
\[
x_1 = \frac{5 - 3}{2} = 1,\quad x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4
\]
Шаг 3: Анализ знака производной
Рассмотрим интервалы: \((-\infty, 1)\), \((1, 4)\), \((4, +\infty)\)
Подставим тестовые точки: например, \(x=0\), \(x=2\), \(x=5\):
- В интервале \((-\infty, 1)\), например, \(x=0\):
\[f'(0) = 0^2 - 5*0 + 4 = 4 > 0\] → функция возрастает.
- В интервале \((1, 4)\), например, \(x=2\):
\[f'(2) = 4 - 10 + 4 = -2 < 0\] → функция убывает.
- В интервале \((4, +\infty)\), например \(x=5\):
\[f'(5) = 25 - 25 + 4 = 4 > 0\] → функция возрастает.
Ответ по первому заданию:
- Промежутки возрастания: \((-\infty, 1)\) и \((4, +\infty)\)
- Промежутки убывания: \((1, 4)\)
Шаг 4: Исследовать на экстремумы
- В точках \(x=1\) и \(x=4\)
Определим тип экстремума, посмотрев на знак второй производной:
\[f''(x) = \frac{d}{dx} (f'(x))= \frac{d}{dx} (x^2 - 5x + 4) = 2x - 5\]
- В точке \(x=1\):
\[f''(1) = 2 - 5 = -3 < 0\] → точка локального максимум.
- В точке \(x=4\):
\[f''(4) = 8 - 5 = 3 > 0\] → точка локального минимума.
Ответ:
- Максимум при \(x=1\), минимум при \(x=4\).
- Монотонность: функция возрастает на \((-\infty,1)\), убывает — на \((1,4)\), снова возрастает — на \((4, +\infty)\).
Задача 2: Найти наибольшее и наименьшее значение функции \(f(x)=x^4 - 8x^2 + 5\) на промежутке \([-3;2]\)
Шаг 1: Найдём критические точки внутри интервала.
Производная:
\[f'(x) = 4x^3 - 16x = 4x(x^2 - 4)\]
Решим \(f'(x)=0\):
\[4x(x^2 - 4)=0\]
Так что:
\[x=0,\quad x^2 - 4=0 \Rightarrow x=\pm 2\]
Из них, важные точки: \(-2, 0, 2\). Отметим, что точка \(x=2\) — край интервала.
Шаг 2: Проверка точек и концов интервала
Вычислим значения функции:
- В точке \(x=-3\):
\[f(-3)=(-3)^4 - 8(-3)^2 + 5 = 81 - 8*9 + 5=81 - 72 + 5=14\]
- В точке \(x=-2\):
\[f(-2)=16 -8*4 + 5=16 - 32 + 5= -11\]
- В точке \(x=0\):
\[f(0)=0 - 0 + 5=5\]
- В точке \(x=2\):
\[f(2)=16 - 8*4 + 5=16 - 32 + 5= -11\]
- В точке \(x=2\) — край, уже посчитано.
Шаг 3: Определение наибольшего и наименьшего значений
Минуем значения:
- В точке \(x=-3\): \(14\)
- В точках \(-2\) и \(2\): \(-11\)
- В точке \(0\): \(5\)
Наибольшее значение: \(14\) при \(x=-3\).
Наименьшее значение: \(-11\) при \(x=-2\) и \(x=2\).
Ответ:
- Наибольшее значение на интервале: \(\boxed{14}\) при \(x=-3\)
- Наименьшее значение: \(\boxed{-11}\) при \(x=-2\) и \(x=2\)
Задача 3: Исследовать на промежутки выпуклости и найти точки перегиба
\[ y = x^4 - 2x^2 + 5 \]
Шаг 1: Найдём первую и вторую производные
\[ y' = 4x^3 - 4x \]
\[ y'' = 12x^2 - 4 \]
Шаг 2: Найдём точки возможных перегибов
Точки перегиба — там, где \( y''=0 \):
\[12x^2 - 4=0\]
\[12x^2=4\]
\[x^2=\frac{1}{3}\]
\[x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\]
Шаг 3: Анализ знака второй производной
- Для \(x< -\frac{1}{\sqrt{3}}\), например \(x=-1\):
\[y''(-1) = 12(1) -4=8>0\] — функция выпукла вверх.
- Для \(x> \frac{1}{\sqrt{3}}\), например \(x=1\):
\[y''(1) = 12(1) -4=8>0\] — функция выпукла вверх.
- Для \(-\frac{1}{\sqrt{3}} < x < \frac{1}{\sqrt{3}}\), например \(x=0\):
\[y''(0) = -4<0\] — функция вогнута вниз.
Ответ:
- Точки перегиба в \(x= -\frac{1}{\sqrt{3}}\) и \(x= \frac{1}{\sqrt{3}}\)
- Функция вогнута вниз на \(\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)\), вогнута вверх — за его пределами.
Если нужны дополнительные пояснения или помощь, обращайтесь!
