:1). Определите промежутки монотонности функции и исследуйте на экстремум:$f(x)=\frac {x^{3}}{3}-\frac {5}{2}x^{2}+4x-1$ 2)Найдите наибольшее и наименьшее значение функции $f(x)=x^{4}-8x^{2}+5$ на промежутке $[-3;2]$ 3). исследовать на промежутки выпуклости и найти точки перегиба: $y=x^{4}-2x^{2}+5$

Конечно! Ниже приведены подробные решения всех трёх задач с объяснениями. --- ### Задача 1: Определить промежутки монотонности функции и исследовать на экстремум Функция: \[f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{5}{2}x^2 + 4x - 1\] --- **Шаг 1: Найдём первую производную \(f'(x)\)** Чтобы найти промежутки возрастания и убывания, ищем знак производной: \[f'(x) = \frac{d}{dx} \left(\frac{x^3}{3} - \frac{5}{2}x^2 + 4x - 1\right)\] Вычислим: \[f'(x) = x^2 - 5x + 4\] --- **Шаг 2: Найдём критические точки (где \(f'(x) = 0\))** Решим уравнение: \[x^2 - 5x + 4 = 0\] Дискриминант: \[\Delta = 25 - 16 = 9\] Корни: \[x = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2}\] Получаем два критических значения: \[ x_1 = \frac{5 - 3}{2} = 1,\quad x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4 \] --- **Шаг 3: Анализ знака производной** Рассмотрим интервалы: \((-\infty, 1)\), \((1, 4)\), \((4, +\infty)\) Подставим тестовые точки: например, \(x=0\), \(x=2\), \(x=5\): - В интервале \((-\infty, 1)\), например, \(x=0\): \[f'(0) = 0^2 - 5*0 + 4 = 4 > 0\] → функция возрастает. - В интервале \((1, 4)\), например, \(x=2\): \[f'(2) = 4 - 10 + 4 = -2 < 0\] → функция убывает. - В интервале \((4, +\infty)\), например \(x=5\): \[f'(5) = 25 - 25 + 4 = 4 > 0\] → функция возрастает. --- **Ответ по первому заданию:** - **Промежутки возрастания:** \((-\infty, 1)\) и \((4, +\infty)\) - **Промежутки убывания:** \((1, 4)\) --- **Шаг 4: Исследовать на экстремумы** - В точках \(x=1\) и \(x=4\) Определим тип экстремума, посмотрев на знак второй производной: \[f''(x) = \frac{d}{dx} (f'(x))= \frac{d}{dx} (x^2 - 5x + 4) = 2x - 5\] - В точке \(x=1\): \[f''(1) = 2 - 5 = -3 < 0\] → точка локального максимум. - В точке \(x=4\): \[f''(4) = 8 - 5 = 3 > 0\] → точка локального минимума. --- ### **Ответ:** - Максимум при \(x=1\), минимум при \(x=4\). - Монотонность: функция возрастает на \((-\infty,1)\), убывает — на \((1,4)\), снова возрастает — на \((4, +\infty)\). --- ### Задача 2: Найти наибольшее и наименьшее значение функции \(f(x)=x^4 - 8x^2 + 5\) на промежутке \([-3;2]\) --- **Шаг 1: Найдём критические точки внутри интервала.** Производная: \[f'(x) = 4x^3 - 16x = 4x(x^2 - 4)\] Решим \(f'(x)=0\): \[4x(x^2 - 4)=0\] Так что: \[x=0,\quad x^2 - 4=0 \Rightarrow x=\pm 2\] Из них, важные точки: \(-2, 0, 2\). Отметим, что точка \(x=2\) — край интервала. --- **Шаг 2: Проверка точек и концов интервала** Вычислим значения функции: 1. В точке \(x=-3\): \[f(-3)=(-3)^4 - 8(-3)^2 + 5 = 81 - 8*9 + 5=81 - 72 + 5=14\] 2. В точке \(x=-2\): \[f(-2)=16 -8*4 + 5=16 - 32 + 5= -11\] 3. В точке \(x=0\): \[f(0)=0 - 0 + 5=5\] 4. В точке \(x=2\): \[f(2)=16 - 8*4 + 5=16 - 32 + 5= -11\] 5. В точке \(x=2\) — край, уже посчитано. --- **Шаг 3: Определение наибольшего и наименьшего значений** Минуем значения: - В точке \(x=-3\): \(14\) - В точках \(-2\) и \(2\): \(-11\) - В точке \(0\): \(5\) **Наибольшее значение:** \(14\) при \(x=-3\). **Наименьшее значение:** \(-11\) при \(x=-2\) и \(x=2\). --- ### **Ответ:** - **Наибольшее значение на интервале:** \(\boxed{14}\) при \(x=-3\) - **Наименьшее значение:** \(\boxed{-11}\) при \(x=-2\) и \(x=2\) --- ### Задача 3: Исследовать на промежутки выпуклости и найти точки перегиба \[ y = x^4 - 2x^2 + 5 \] --- **Шаг 1: Найдём первую и вторую производные** \[ y' = 4x^3 - 4x \] \[ y'' = 12x^2 - 4 \] --- **Шаг 2: Найдём точки возможных перегибов** Точки перегиба — там, где \( y''=0 \): \[12x^2 - 4=0\] \[12x^2=4\] \[x^2=\frac{1}{3}\] \[x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\] --- **Шаг 3: Анализ знака второй производной** - Для \(x< -\frac{1}{\sqrt{3}}\), например \(x=-1\): \[y''(-1) = 12(1) -4=8>0\] — функция выпукла вверх. - Для \(x> \frac{1}{\sqrt{3}}\), например \(x=1\): \[y''(1) = 12(1) -4=8>0\] — функция выпукла вверх. - Для \(-\frac{1}{\sqrt{3}} < x < \frac{1}{\sqrt{3}}\), например \(x=0\): \[y''(0) = -4<0\] — функция вогнута вниз. --- **Ответ:** - Точки перегиба в \(x= -\frac{1}{\sqrt{3}}\) и \(x= \frac{1}{\sqrt{3}}\) - Функция вогнута вниз на \(\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)\), вогнута вверх — за его пределами. --- Если нужны дополнительные пояснения или помощь, обращайтесь!