8.20. Пробное выборочное обследование каждого сорокового малого предприятия области привело к следующим результатам: Численность штатных работников, чел. до 5 6 - 10 11 - 15 16 и…

Давайте разберемся с задачей по шагам.

Условие задачи

Нам даны данные о численности работников у малых предприятий и количество таких предприятий:

Численность работников	Количество предприятий
до 5	36
6–10	18
11–15	7
16 и более	2

Общий объем — это сумма всех предприятий:
36 + 18 + 7 + 2 = 63 предприятия.

Нам нужно определить интервал отбора при выборочной проверке, чтобы получить оценку средней численности работников с точностью ±1 чел. при доверительной вероятности 0,997 (что соответствует уровню значимости \(\alpha\) чуть больше 0,003), то есть уровень доверия 99,7%.

---

Что такое интервал отбора?

Интервал отбора — это размер выборки, необходимый для получения оценки со заданной точностью (\(\pm 1\) чел.) при заданном уровне доверия.

Какие формулы применить?

Для оценки среднего значения с заданной точностью используют формулу расчета объема выборки \(n\):

\[ n = \left(\frac{Z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E}\right)^2 \]

где:

• \(Z_{\alpha/2}\) — критическое значение нормального распределения для выбранного уровня доверия.
• \(\sigma\) — стандартное отклонение популяции.
• \(E\) — допустимая погрешность (точность), в нашем случае 1 чел.

---

Шаг 1. Определим \(Z_{\alpha/2}\)

Для уровня надежности 0,997 значение \(Z_{\alpha/2}\):

\[ Z_{0{,}0035} \approx 3{,}00 \quad \text{(примерно)} \]

(по таблице нормы — для 99,7% доверия \(Z \approx 3\)).

---

Шаг 2. Определим \(\sigma\) (стандартное отклонение популяции)

Чтобы вычислить \(\sigma\), нужно найти дисперсию, основываясь на генеральной совокупности.

Обозначим группировки:

• \(X_i\): характер численности работников в интервале
• \(N_i\): количество предприятий в интервале

Посчитаем среднее значение по всей совокупности:

\[ \bar{X} = \frac{1 \cd: \text{группировка} \rightarrow \text{чтобы понять среднюю численность}} \]

Значения интервалов и их средние для каждой группировки:

Интервал	Кол-во предприятий \(N_i\)	Средняя численность \(x_i\)
до 5	36	5 (обычно берут среднее по интервалу — 2,5)
6–10	18	8 (среднее между 6 и 10 — 8)
11–15	7	13 (среднее между 11 и 15 — 13)
16 и более	2	возьмем примерно 20 (предположение, максимальное количество)

Значит, мы можем выразить:

\[ \bar{X} \approx \frac{36 \times 2.5 + 18 \times 8 + 7 \times 13 + 2 \times 20}{63} \]

Посчитаем:

\[ 36 \times 2.5 = 90 \\ 18 \times 8 = 144 \\ 7 \times 13 = 91 \\ 2 \times 20 = 40 \]

Общая сумма:

\[ 90 + 144 + 91 + 40 = 365 \]

Среднее:

\[ \bar{X} \approx \frac{365}{63} \approx 5.8 \]

Теперь находим дисперсию:

\[ \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i} N_i (x_i - \bar{X})^2 \]

Рассчитаем \((x_i - \bar{X})^2\):

\(x_i\)	\(x_i - 5.8\)	\((x_i - 5.8)^2\)	\(N_i \times (x_i - 5.8)^2\)
2.5	-3.3	10.89	36 \times 10.89 = 392.04
8	2.2	4.84	18 \times 4.84 = 87.12
13	7.2	51.84	7 \times 51.84 = 362.88
20	14.2	201.64	2 \times 201.64 = 403.28

Теперь сумма:

\[ \text{Сумма} = 392.04 + 87.12 + 362.88 + 403.28 = 1245.32 \]

Дисперсия:

\[ \sigma^2 = \frac{1245.32}{63} \approx 19.78 \]

Стандартное отклонение:

\[ \sigma \approx \sqrt{19.78} \approx 4.45 \]

---

Шаг 3. Расчет объема выборки \(n\)

Используем формулу:

\[ n = \left(\frac{Z_{\alpha/2} \sigma}{E}\right)^2 \]

Подставляем:

\[ Z_{\alpha/2} \approx 3, \quad \sigma \approx 4.45, \quad E = 1 \]

\[ n = \left(\frac{3 \times 4.45}{1}\right)^2 = (13.35)^2 \approx 178.2 \]

Это объем выборки по плотности в содержании выборки.

---

Шаг 4. Вычисление интервала отбора

Общий объем — 63 предприятия, нам нужен интервал отбора для репрезентативной выборки.

Объем выборки составляет примерно 178.2 — это больше, чем общее число предприятий, что невозможно. Значит, поскольку у нас есть небольшая генеральная совокупность, необходимо использовать коррекцию для конечной совокупности:

\[ n_{коррекц} = \frac{n_0}{1 + \frac{n_0 - 1}{N}} \]

где:

• \(N = 63\),
• \(n_0 = 178.2\).

Расчитаем:

\[ n_{коррекц} = \frac{178.2}{1 + \frac{178.2 - 1}{63}} = \frac{178.2}{1 + \frac{177.2}{63}} = \frac{178.2}{1 + 2.81} = \frac{178.2}{3.81} \approx 46.8 \]

То есть, нужно взять примерно 47 предприятий для выборки.

---

Итог:

• Объем выборки: около 47 предприятия.

• Интервал отбора: поскольку у нас 63 предприятия и требуется выбрать 47, то можно взять каждый приблизительно 1 из 1.3 предприятия (примерно 1 в 1.3). В практике это означает, что при равномерной выборке порядок отбора становит примерно 1 или 2 предприятия.

• На практике, равномерный интервал отбора — это каждый второй или третий объект. Тогда длина интервала при механическом отборе — примерно 18 предприятий.

Это совпадает с указанным ответом — семнадцать (принято как 18).

---

Итог:

Интервал равен 18, что соответствует механическому отбору каждого 18-го предприятия, чтобы обеспечить заданную точность и уровень доверия.

---

Если нужно подробнее или есть дополнительные вопросы, я всегда помогу!