3x²+x-4<0
Рассмотрим неравенство:
\[ 3x^2 + x - 4 < 0 \]
Цель — понять решение этого неравенства.
Шаг 1. Найдём корни квадратного уравнения
Для этого решим уравнение:
\[ 3x^2 + x - 4 = 0 \]
Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где:
- \( a = 3 \)
- \( b = 1 \)
- \( c = -4 \)
Подставляем:
\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4)}}{2 \cdot 3} \]
Вычислим дискриминант:
\[ D = 1 + 48 = 49 \]
Находим корни:
\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{6} \]
\[ x = \frac{-1 \pm 7}{6} \]
Теперь найдём оба корня:
- \[ x_1 = \frac{-1 + 7}{6} = \frac{6}{6} = 1 \]
- \[ x_2 = \frac{-1 - 7}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3} \]
Шаг 2. Анализ знака многочлена
Это квадратное неравенство: \( 3x^2 + x - 4 < 0 \).
Поскольку коэффициент перед \( x^2 \) положителен (\( 3 > 0 \)), парабола "вырождается" вверх.
Корни:
\[ x_1 = 1 \]
\[ x_2 = -\frac{4}{3} \]
Многочликт меняет знак в точках корней.
- В промежутках между корнями многочлен отрицателен, так как в этом диапазоне парабола находится ниже оси.
Итак,
- Многочлен отрицателен для \( x \) в интервале \( ( -\frac{4}{3}, 1 ) \).
Итог
Ответ:
\[ \boxed{ -\frac{4}{3} < x < 1 } \]
Это все значения \( x \), при которых неравенство выполняется.
