Н
Конечно, давайте поэтапно решим это уравнение:
Задача:
Решить уравнение \(\sqrt{x} = -\sqrt{9 - x} + 3\).
Шаг 1: Анализ уравнения
Обратите внимание, что уравнение содержит корень \(\sqrt{x}\). Поскольку корень из числа неотрицателен, то для существования \( \sqrt{x} \) необходимо, чтобы:
\[ x \geq 0 \]
Также, в правой части уравнения стоит \(-\sqrt{9 - x}\), что при отрицательном знаке при корне так же должно иметь смысл: корень из любого числа неотрицателен, следовательно, \(\sqrt{9 - x} \geq 0\), что означает:
\[ 9 - x \geq 0 \implies x \leq 9 \]
Итак, область определения для \(x\):
\[ 0 \leq x \leq 9 \]
Шаг 2: Изолировать корень
Перепишем уравнение:
\[ \sqrt{x} = -\sqrt{9 - x} + 3 \]
Добавим \(\sqrt{9 - x}\) к обеим частям:
\[ \sqrt{x} + \sqrt{9 - x} = 3 \]
Шаг 3: Введение новой переменной или квадрирование
Для удобства, признаем:
\[ a = \sqrt{x} \]
Тогда:
\[ a + \sqrt{9 - a^2} = 3 \]
Из этого:
\[ \sqrt{9 - a^2} = 3 - a \]
Обратите внимание, что правая часть должна быть неотрицательной, потому что левая — это корень. Значит:
\[ 3 - a \geq 0 \implies a \leq 3 \]
Также, \(a = \sqrt{x} \geq 0\), так что:
\[ 0 \leq a \leq 3 \]
Шаг 4: Возведение в квадрат
Теперь возьмем квадраты обеих частей:
\[ \left(\sqrt{9 - a^2}\right)^2 = (3 - a)^2 \]
Это даст:
\[ 9 - a^2 = 9 - 6a + a^2 \]
Перенесем все в левую сторону:
\[ 9 - a^2 - 9 + 6a - a^2 = 0 \]
Упростим:
\[ -2a^2 + 6a = 0 \]
Вынесем общий множитель:
\[ -2a(a - 3) = 0 \]
Решения:
\[ a = 0 \quad \text{или} \quad a = 3 \]
Шаг 5: Подставим обратно для \(x\)
Так как \(a = \sqrt{x}\):
- Если \(a = 0\), то:
\[ \sqrt{x} = 0 \implies x = 0 \]
- Если \(a = 3\), то:
\[ \sqrt{x} = 3 \implies x = 9 \]
Шаг 6: Проверка решений
Проверим оба решения исходное уравнение.
- Для \(x = 0\):
Левый член:
\[ \sqrt{0} = 0 \]
Правый член:
\[ -\sqrt{9 - 0} + 3 = -\sqrt{9} + 3 = -3 + 3 = 0 \]
Равно — подходит.
- Для \(x = 9\):
Левый член:
\[ \sqrt{9} = 3 \]
Правый член:
\[ -\sqrt{9 - 9} + 3 = -0 + 3 = 3 \]
Также подходит.
Ответ:
\[ \boxed{ \text{Ответ: } x = 0 \text{ или } x = 9 } \]
Это и есть решения уравнения в допустимой области.
