Н

Конечно, давайте поэтапно решим это уравнение: **Задача:** Решить уравнение \(\sqrt{x} = -\sqrt{9 - x} + 3\). --- ### Шаг 1: Анализ уравнения Обратите внимание, что уравнение содержит корень \(\sqrt{x}\). Поскольку корень из числа неотрицателен, то для существования \( \sqrt{x} \) необходимо, чтобы: \[ x \geq 0 \] Также, в правой части уравнения стоит \(-\sqrt{9 - x}\), что при отрицательном знаке при корне так же должно иметь смысл: корень из любого числа неотрицателен, следовательно, \(\sqrt{9 - x} \geq 0\), что означает: \[ 9 - x \geq 0 \implies x \leq 9 \] Итак, область определения для \(x\): \[ 0 \leq x \leq 9 \] --- ### Шаг 2: Изолировать корень Перепишем уравнение: \[ \sqrt{x} = -\sqrt{9 - x} + 3 \] Добавим \(\sqrt{9 - x}\) к обеим частям: \[ \sqrt{x} + \sqrt{9 - x} = 3 \] --- ### Шаг 3: Введение новой переменной или квадрирование Для удобства, признаем: \[ a = \sqrt{x} \] Тогда: \[ a + \sqrt{9 - a^2} = 3 \] Из этого: \[ \sqrt{9 - a^2} = 3 - a \] Обратите внимание, что правая часть должна быть неотрицательной, потому что левая — это корень. Значит: \[ 3 - a \geq 0 \implies a \leq 3 \] Также, \(a = \sqrt{x} \geq 0\), так что: \[ 0 \leq a \leq 3 \] --- ### Шаг 4: Возведение в квадрат Теперь возьмем квадраты обеих частей: \[ \left(\sqrt{9 - a^2}\right)^2 = (3 - a)^2 \] Это даст: \[ 9 - a^2 = 9 - 6a + a^2 \] Перенесем все в левую сторону: \[ 9 - a^2 - 9 + 6a - a^2 = 0 \] Упростим: \[ -2a^2 + 6a = 0 \] Вынесем общий множитель: \[ -2a(a - 3) = 0 \] Решения: \[ a = 0 \quad \text{или} \quad a = 3 \] --- ### Шаг 5: Подставим обратно для \(x\) Так как \(a = \sqrt{x}\): - Если \(a = 0\), то: \[ \sqrt{x} = 0 \implies x = 0 \] - Если \(a = 3\), то: \[ \sqrt{x} = 3 \implies x = 9 \] --- ### Шаг 6: Проверка решений Проверим оба решения исходное уравнение. 1. **Для \(x = 0\):** Левый член: \[ \sqrt{0} = 0 \] Правый член: \[ -\sqrt{9 - 0} + 3 = -\sqrt{9} + 3 = -3 + 3 = 0 \] Равно — подходит. 2. **Для \(x = 9\):** Левый член: \[ \sqrt{9} = 3 \] Правый член: \[ -\sqrt{9 - 9} + 3 = -0 + 3 = 3 \] Также подходит. --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ \text{Ответ: } x = 0 \text{ или } x = 9 } \] Это и есть решения уравнения в допустимой области.