Давайте решим задачу шаг за шагом, подробно объясняя все вычисления.
Дано:
- Количество попыток: ( n = 12 )
- Вероятность попадания в одну попытку: ( p = 0,4 )
- Вероятность промаха: ( q = 1 - p = 0,6 )
И нам нужно сравнить:
- Вероятность того, что баскетболист попадет ровно (k) раз: ( P(X = k) )
- В частности, для (k = 12) и (k = 3)
1. Формула биномиального распределения
Вероятность ровно (k) попаданий при (n) попытках:
[
P(X = k) = C_n^k p^k q^{n - k}
]
где (C_n^k = \frac{n!}{k!(n - k)!}) — биномиальные коэффициенты.
2. Вычислим ( P(12) ) — вероятность попасть ровно 12 раз
[
P(12) = C_{12}^{12} p^{12} q^{0} = 1 \times (0,4)^{12} \times 1 = (0,4)^{12}
]
3. Вычислим ( P(3) ) — вероятность попасть ровно 3 раза
[
P(3) = C_{12}^{3} p^{3} q^{9}
]
[
C_{12}^{3} = \frac{12!}{3! \times 9!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220
]
Подставим:
[
P(3) = 220 \times (0,4)^3 \times (0,6)^9
]
4. Найдём отношение ( R = \frac{P(12)}{P(3)} )
[
R = \frac{(0,4)^{12}}{220 \times (0,4)^3 \times (0,6)^9}
]
Упростим:
[
R = \frac{(0,4)^{12}}{220 \times (0,4)^3 \times (0,6)^9} = \frac{(0,4)^{12}}{220 \times (0,4)^3 \times (0,6)^9}
]
Можно разделить числитель и знаменатель на ((0,4)^3):
[
R = \frac{(0,4)^{12}}{(0,4)^3 \times 220 \times (0,6)^9} = \frac{(0,4)^{12 - 3}}{220 \times (0,6)^9} = \frac{(0,4)^9}{220 \times (0,6)^9}
]
Обрати внимание, что:
[
R = \frac{(0,4)^9}{220 \times (0,6)^9} = \frac{1}{220} \times \left(\frac{0,4}{0,6}\right)^9
]
Потому что:
[
\frac{(0,4)^9}{(0,6)^9} = \left(\frac{0,4}{0,6}\right)^9
]
5. Итоговое выражение
[
\boxed{
R = \frac{1}{220} \times \left(\frac{0,4}{0,6}\right)^9
}
]
Посчитаем числовые значения:
[
\frac{0,4}{0,6} = \frac{2/5}{3/5} = \frac{2}{3} \approx 0,6667
]
Теперь возьмём степень 9:
[
(0,6667)^9
]
Это примерно:
[
(2/3)^9
]
Вычислим приблизительно:
[
(2/3)^9 = \left(\frac{2}{3}\right)^9 = \frac{2^9}{3^9} = \frac{512}{19683} \approx 0,026
]
Теперь умножим на (\frac{1}{220}):
[
R \approx \frac{1}{220} \times 0,026 \approx 0,000118
]
Ответ:
Вероятность ровно 12 попаданий примерно в 8,8 раз меньше, чем вероятность ровно 3 попаданий. То есть:
[
\approx 0,000118
]
или в примерно 85 раз меньше.
Если нужно точное отношение — оно равно:
[
\boxed{
R = \frac{1}{220} \times \left(\frac{2}{3}\right)^9
}
]
или численно примерно 0,000118.
