Баскетболист на тренировке бросает мяч в кольцо 12раз. Вероятность попадания при каждой отдельной попытке равна 0,4. Во сколько раз вероятность события "ровно попадания" больше…

Давайте решим задачу шаг за шагом, подробно объясняя все вычисления.

Дано:

• Количество попыток: \( n = 12 \)
• Вероятность попадания в одну попытку: \( p = 0,4 \)
• Вероятность промаха: \( q = 1 - p = 0,6 \)

И нам нужно сравнить:

• Вероятность того, что баскетболист попадет ровно \(k\) раз: \( P(X = k) \)
• В частности, для \(k = 12\) и \(k = 3\)

---

1. Формула биномиального распределения

Вероятность ровно \(k\) попаданий при \(n\) попытках:

\[ P(X = k) = C_n^k p^k q^{n - k} \]

где \(C_n^k = \frac{n!}{k!(n - k)!}\) — биномиальные коэффициенты.

---

2. Вычислим \( P(12) \) — вероятность попасть ровно 12 раз

\[ P(12) = C_{12}^{12} p^{12} q^{0} = 1 \times (0,4)^{12} \times 1 = (0,4)^{12} \]

---

3. Вычислим \( P(3) \) — вероятность попасть ровно 3 раза

\[ P(3) = C_{12}^{3} p^{3} q^{9} \]

\[ C_{12}^{3} = \frac{12!}{3! \times 9!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220 \]

Подставим:

\[ P(3) = 220 \times (0,4)^3 \times (0,6)^9 \]

---

4. Найдём отношение \( R = \frac{P(12)}{P(3)} \)

\[ R = \frac{(0,4)^{12}}{220 \times (0,4)^3 \times (0,6)^9} \]

Упростим:

\[ R = \frac{(0,4)^{12}}{220 \times (0,4)^3 \times (0,6)^9} = \frac{(0,4)^{12}}{220 \times (0,4)^3 \times (0,6)^9} \]

Можно разделить числитель и знаменатель на \((0,4)^3\):

\[ R = \frac{(0,4)^{12}}{(0,4)^3 \times 220 \times (0,6)^9} = \frac{(0,4)^{12 - 3}}{220 \times (0,6)^9} = \frac{(0,4)^9}{220 \times (0,6)^9} \]

Обрати внимание, что:

\[ R = \frac{(0,4)^9}{220 \times (0,6)^9} = \frac{1}{220} \times \left(\frac{0,4}{0,6}\right)^9 \]

Потому что:

\[ \frac{(0,4)^9}{(0,6)^9} = \left(\frac{0,4}{0,6}\right)^9 \]

---

5. Итоговое выражение

\[ \boxed{ R = \frac{1}{220} \times \left(\frac{0,4}{0,6}\right)^9 } \]

Посчитаем числовые значения:

\[ \frac{0,4}{0,6} = \frac{2/5}{3/5} = \frac{2}{3} \approx 0,6667 \]

Теперь возьмём степень 9:

\[ (0,6667)^9 \]

Это примерно:

\[ (2/3)^9 \]

Вычислим приблизительно:

\[ (2/3)^9 = \left(\frac{2}{3}\right)^9 = \frac{2^9}{3^9} = \frac{512}{19683} \approx 0,026 \]

Теперь умножим на \(\frac{1}{220}\):

\[ R \approx \frac{1}{220} \times 0,026 \approx 0,000118 \]

Ответ:

Вероятность ровно 12 попаданий примерно в 8,8 раз меньше, чем вероятность ровно 3 попаданий. То есть:

\[ \approx 0,000118 \]

или в примерно 85 раз меньше.

---

Если нужно точное отношение — оно равно:

\[ \boxed{ R = \frac{1}{220} \times \left(\frac{2}{3}\right)^9 } \]

или численно примерно 0,000118.