y=x², x=y-12. Сколько решений имеет эта система?
Давайте решим эту систему уравнений шаг за шагом.
Даны уравнения:
- \( y = x^2 \)
- \( x = y - 12 \)
Цель — понять, сколько решений у системы.
Шаг 1. Подставим из второго уравнения в первое
Из второго уравнения выразим \( y \):
\[ x = y - 12 \quad \Rightarrow \quad y = x + 12 \]
Теперь подставим это значение в первое уравнение:
\[ y = x^2 \]
Подставляем \( y = x + 12 \):
\[ x + 12 = x^2 \]
Шаг 2. Получаем уравнение на \( x \)
Перенесем все в левую сторону:
\[ x^2 - x - 12 = 0 \]
Это квадратное уравнение.
Шаг 3. Решим квадратичное уравнение
Формула дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac \]
где \( a=1 \), \( b=-1 \), \( c=-12 \).
Подставим:
\[ D = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-12) = 1 + 48 = 49 \]
Дискриминант положителен, следовательно, два различных корня.
Найдем корни по формуле:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставим значения:
\[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{1 \pm 7}{2} \]
Это дает два решения:
- \( x_1 = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)
- \( x_2 = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \)
Шаг 4. Найдем соответствующие \( y \)
Для каждого \( x \), подставим обратно в \( y = x + 12 \).
- Для \( x_1 = 4 \):
\[ y_1 = 4 + 12 = 16 \]
- Для \( x_2 = -3 \):
\[ y_2 = -3 + 12 = 9 \]
Итог
Получаем два решения:
- \((x, y) = (4, 16)\)
- \((x, y) = (-3, 9)\)
Ответ: система имеет 2 решения.
Если нужно — могу объяснить еще подробнее или помочь с дополнительными вопросами!
